El Número de Graham

   En primer lugar, en esta reflexión plantearé una puesta en situación, los datos teóricos referentes al número de Graham y, por último, daré mi opinión sobre las magnitudes y el trasfondo matemático de las cuestiones planteadas. (Nota: escrito con LaTeX con algunas limitaciones de blogger).

   El hecho de que el ser humano quiera definir la existencia de números infinitamente grandes o infinitamente pequeños y, a su vez, ser capaz de controlarlos, depende de hasta dónde puede abarcar su mente, siempre y cuando las leyes de la física que rigen nuestro universo se lo permitan. Si tenemos en cuenta que el número de átomos en el cuerpo humano es del orden de $$10^{28}$$ y que el número de átomos en el universo es, como mucho, $$10^{80},$$ pensar en números (naturales) de mayor magnitud se antoja novelesco o como simple estudio teórico.

   Para quien no lo sepa, el origen del buscador indizado de internet más famoso en la actualidad, GOOGLE, es el nombre de un número, concretamente $$10^{100} \textrm{  (en inglés se llama googol) y que  } 10^{10^{100}}=10^{ googol} \textrm{   se llama googolplex.}$$ Teniendo en cuenta estas triviales denominaciones, absolutamente todo lo que existe en el universo en cuanto a cantidad es mucho menor que un googol. Hay que ser de mente abierta para ir imaginando estas cosas, ¿verdad? Si intentáramos escribir un googolplex con un tipo de letra normal en un papel lo suficientemente grande para que cupiera, nos faltaría espacio en el universo para poder plasmarlo en él.

   Una cota superior de un conjunto de números es un elemento perteneciente a las cotas superiores del conjunto dado. Hay, por tanto, muchas cotas superiores. A la menor de estas cotas superiores se la denomina ínfimo. Algo parecido sirve para definir el supremo de un conjunto de cotas inferiores. El número de Graham es una cota superior de la solución de un problema de grafos de la teoría de Ramsey, en la que no voy a entrar por su complejidad y para no desviar la atención sobre este número en sí. Simplemente comentar que esta solución N es de la forma $$11\leq N \leq G,$$ donde G es el número de Graham.

   El número de Graham tiene el curioso honor de ser el número más grande que existe de forma explícita, es decir, se puede construir aunque lo que se tarde en hacerlo es una cuestión muy particular. Se sabe que sus últimas cifras son …95387. Los puntos suspensivos de la anterior frase encierran tal vastedad que desafían el razonamiento y las capacidades humanas. Voy a tratar de acercar al lector a la construcción de este número tan curioso.

   La construcción del número de Graham no se puede hacer con torres de exponentes de la forma "número elevado a otro número elevado a otro número..." porque G es tan grande que resulta una notación inútil, pero sí se puede hacer de forma recursiva mediante la notación de flechas de Knuth:

$$3\uparrow{}\uparrow{}2=3^{3}=3*3*3=27$$

$$3\uparrow{}\uparrow{}3=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987$$

$$3\uparrow{}\uparrow{}4=3^{3^{3^{3}}}=3^{7625597484987}$$ y sucesivamente…

Tenemos así:

$$3\uparrow{}3=27$$

$$3\uparrow{}\uparrow{}3=3\uparrow(3\uparrow{}3)=3^{27}=7625597484987$$

$$3\uparrow{}\uparrow{}\uparrow{}3=3\uparrow{}\uparrow{}3\uparrow{}\uparrow{}3 =3^{7625597484987}= \textrm{ número inimaginable.}$$

Llamamos $$x=g_1=3\uparrow{}\uparrow{}\uparrow{}\uparrow{}3$$ que es el siguiente según el número de flechas detallado anteriormente.

Llamamos $$g_2=3\uparrow{}\ldots\uparrow{}3$$ donde los puntos suspensivos son `x´ flechas (algo que se escapa al entendimiento).

Recursivamente, el número de Graham se define como $$G=g_{64}=3\uparrow{}\ldots \uparrow{}3$$ donde los puntos suspensivos representan tantas flechas como $$g_{63}$$ Evidentemente, existen los siguientes “g”, es decir, $$g_{65}, g_{66},\ldots g_{100},\ldots$$
Se define Aleph cero $$\chi_0$$ al cardinal de los números naturales $$\mathbb{N}$$ es decir, el “infinito más pequeño”, por tanto, también existe $$g_{\chi_N}$$ y sucesivamente.

   La idea que subyace de esta reflexión y el contexto del número de Graham y otros números grandes es que NO EXISTE EL INFINITO (yo soy de esta corriente matemática, la corriente constructivista) porque, en caso afirmativo, el número de Graham sería igual a cero e igual al googol e igual al googleplex e igual a cualquier otro número finito. Parece una afirmación muy aventurada pero mi formación académica no me lleva a otra conclusión. Si existiera el infinito, incluso el “más pequeño”, definido antes, siempre existirían infinitos, valga la redundancia, números mayores que cualquier otro número, por tanto, todos los números finitos estarían tan próximos a cero como cualquier otro infinitesimalmente por lo que todos los números serían cero de forma infinitesimal y el salto en la escala numérica positiva sería $$0, \chi_0, \chi_1,\ldots$$ Ya comenté en la entrada El Frío No Existe que el concepto de infinito y el concepto de frío son invenciones humanas para explicar ciertas cosas y que las leyes de la física teórica se cumplan pero, ¿quién quiere más cifras que las del número de átomos del universo? ¿Acaso no es suficiente? Aún así, se le atribuye a Einstein la frase "solo hay dos cosas infinitas: el universo y la estupidez humana y no estoy seguro de lo primero".

Solo los Ángeles Vuelan Más Alto

   Ningún record del mundo de atletismo me ha conmovido más que el que relato a continuación. El salto de altura requiere fuerza, agilidad y técnica a partes iguales y encierra una complejidad elevada aunque no es la especialidad más complicada (el salto con pértiga y el lanzamiento de peso, martillo o disco son más técnicos). Si una persona normal intentara saltar un artefacto (en atletismo se denomina “artefacto” a todo aquello que se usa para cubrir una marca: son artefactos el listón, la pértiga, el peso, las vallas, la jabalina, el testigo en la carrera de relevos, etc) que iguale su altura, le resultaría complicado e incluso alturas inferiores. Entonces, para saltar, sin más ayuda que la fuerza y la técnica, un artefacto situado a 50 centímetros por encima de su altura, los requerimientos serán excepcionales y se han de poseer unas cualidades físicas sobrehumanas, sin ninguna duda.

   El atleta cubano Javier Sotomayor estableció el record mundial, totalmente inalcanzable hoy en día, el 27 de julio de 1993 en Salamanca, en la cifra mágica de 2,45 metros (Sotomayor mide 1,95 m) arrebatándoselo a un sueco por 3 centímetros, en una tarde calurosa pero sin viento, en el segundo intento. Y este es mi pequeño homenaje.

   Gracias al prodigio actual que supone internet y, en particular, al canal de vídeos Youtube, se puede visualizar las veces que se quiera el vídeo (mejor quitar el sonido, los comentarios no aportan ningún dato relevante) de aquella gloriosa tarde que, un servidor, vio y se emocionó en directo.

   La historia del atletismo está llena de marcas memorables, algunas incluso de la década de los 80 que aún hoy no han sido superadas a pesar de las técnicas mejoradas, pero creo que la visualización del salto de altura de Sotomayor es como las buenas películas: no importa las veces que se vea, siempre es como la primera vez, vibrante. Exhorto al lector a que no deje de ver el vídeo porque no se arrepentirá. Primero realizaré una breve narración desde mi punto de vista y después proporcionaré el enlace del vídeo.

   La concentración es máxima porque el cubano sabe que puede hacerlo y lo va a hacer. Esa es la actitud. La mirada perdida, absorto en sus pensamientos que no son otros que realizar el salto para el que nació. Se toma su tiempo, todo está a su favor, lo visualiza en su mente, lo reflexiona, casi lo mastica. El recorrido, las zancadas, la batida y la técnica por encima del listón, todo ha sido analizado y procesado por Sotomayor. Comienza la carrera que le llevará a la gloria con una zancada potentísima, de atleta super élite, parece que flota en cada pisada, todo está medido al milímetro y, nada más comenzar el recorrido, se palpa esa sensación de que algo grande va a suceder, algo realmente excepcional.

   La llegada al punto de máxima velocidad y fuerza, la última pisada, es el punto crítico de todo el salto y, quizás, la parte más débil, si es posible encontrar alguna, de este maravilloso record puesto que parece que muestra un atisbo de duda en esas últimas zancadas más cortas, pero llega el último pisotón que catapulta al cubano como si fuera un auténtico misil y estira todo su cuerpo grácilmente, como desperezándose a la conquista del cielo, su destino. Y sube y sube y arquea la espalda como si deshuesado fuera su cuerpo y roza el listón y se tambalea pero sus piernas dan el golpe de gracia con una fuerza inimaginable y supera los 2,45 metros de altura con el artefacto moviéndose pero con la seguridad de que no llegará a caer de sus apoyos. La alegría se desata y dicho record será muy difícil que haya otro atleta que logre siquiera igualarlo. Mejor miradlo y admiradlo.

Algunos Porqués II

¿Por qué el cielo está arriba y el infierno abajo?

¿Por qué los vecinos solo saben hacer ruido?

¿Por qué es absurda la frase “lo bueno si breve dos veces bueno”?

¿Por qué cuando quiero no puedo y cuando puedo no quiero?

¿Por qué en el espacio proyectivo dos rectas paralelas se cortan en el infinito?

¿Por qué cuanta más experiencia, menos oportunidades laborales?

¿Por qué antes se decía “trabajo” y ahora se dice “puesto de trabajo”? ¿No son lo mismo?

¿Por qué antes se decía “Vascongadas” y ahora se dice “País Vasco”? ¿No son lo mismo?

¿Por qué el todo no es la suma de las partes? ¿Quién lo dice?

¿Por qué el roce hace el cariño? A mí el roce me provoca heridas…

¿Por qué los puntos de máximo placer del cuerpo se concentran en 5 centímetros cuadrados?

¿Por qué todo lo malo está bueno?

¿Por qué tú sí y yo no?

¿Por qué no es bueno hablar de política en una reunión de hombres y, si hay mujeres presentes, no es bueno hablar de sexo?

¿Por qué tu dios no me quiere?

¿Por qué por fuera somos simétricos y por dentro asimétricos?

¿Por qué si le pitas a un ciclista, te quiere matar?

¿Por qué hay que pararse en un semáforo en rojo si no hay tráfico?

¿Por qué “La Insoportable Levedad del Ser” es un libro mediocre con tan fascinante título?

¿Por qué has leído estos porqués?