Expongo aquí las demostraciones rigurosas de dos cuestiones muy básicas de nombrar, como son la imposibilidad de cuadrar el círculo y duplicar el cubo, con el uso tangible de instrumentos físicos, esto es, con el uso de regla y compás de la forma geométrica clásica:
1) No es posible la construcción con regla y compás de un cuadrado cuya área coincida con la del círculo de radio la unidad.
Para ello, supongamos lo contrario, es decir, lo que se conoce como la demostración por el método de reducción al absurdo. Sean pues, Ai = (ai, bi), con i = 1, 2, 3, 4 los vértices consecutivos de un cuadrado de área π. Sin entrar en detalles escabrosos, existe un resultado que garantiza que un punto se puede construir a partir del conjunto de puntos del plano P = {(0, 0), (1, 0)}, si una extensión de cuerpos a partir del menor subcuerpo de R (conjunto de números reales) que contiene a Q (conjunto de números racionales) es potencia de 2. No entraré en esto, ya que el objetivo de esta entrada ha de ser simple y no la pérdida de interés en el resultado final. Con esto en mente, se considera ese menor subcuerpo como el propio Q. Así, una extensión de él, E/Q, es algebraica, donde E = Q(a1, b1, a2, b2). Pero contradice la trascendencia de π (esto es, no es raíz de ningún polinomio), ya que π = (a1 – a2)2 +( b1 – b2)2 que pertenece a E. Así, no es posible encontrar el cuadrado inicial.
2) No es posible construir con regla y compás un cubo cuyo volumen sea el doble del de otro dado.
Para este caso, es suficiente probar que no es posible construir un cubo de volumen 2. Supongamos, al igual que antes, la reducción al absurdo para llegar a una contradicción, por lo que se asume que sí se puede construir y fijamos una cara de dicho cubo apoyada en el plano x3 = 0 de R3. Si obviamos la tercera coordenada, llamamos A = (a1, a2) y B = (b1, b2) a dos vértices consecutivos en dicha cara. Estos puntos son construibles con regla y compás, según vimos más arriba y se tiene x = (a1 – a2)2 +( b1 – b2)2 que está en E = Q(a1, b1, a2, b2).
Haciendo operaciones (largas) se obtiene x3 = 4 por estar en E. Así pues, una extensión de E sobre Q es múltiplo de 3 (ya que un polinomio en x sobre Q es de la forma T3 – 4). Veamos, rápidamente, que esa extensión de E es potencia de 2, con lo que llegaremos a una contradicción: Si escogemos el conjunto de puntos del plano P = {(0, 0), (1, 0)} al que le añadimos el punto A, esto es P = {(0, 0), (1, 0), (a1, a2)} y p = B, que es construible a partir de P, como mencionaba antes, se tiene que la la extensión de cuerpos a partir del menos subcuerpo de Q que contiene a A, es potencia de 2, por lo que obtenemos la contradicción buscada.
No he pretendido entrar en detalles que velan el objetivo final de estas líneas, que es el mostrar con rigor, aunque por encima, lógicamente, dos hechos bien conocidos sobre las construcciones geométricas tangibles con regla y compás y espero que sirvan como curiosidad y se tomen con el mismo interés que las demás entradas de este blog.
Es evidente que se pueden construir con regla y compás muchas figuras que, de hecho, se realizan en estudios básicos de secundaria como son la recta perpendicular a otra dada, la recta paralela a otra dada que pase por un determinado punto o el punto medio de un segmento que une dos puntos dados, construcciones muy fáciles que me divertían en el instituto. Es bueno recordarlas.
