¿Qué es la geodesia? La palabra Geodesia expresa división de la Tierra y trata de proporcionar una estructura geométrica precisa para el apoyo de los levantamientos topográficos. Actualmente, se puede definir como la ciencia que resuelve los problemas relacionados con la figura y dimensiones de la Tierra.
¿Qué problemas científicos pueden aclararse con la geodesia? Existen varios:
-Determinación del tipo de superficie matemática que represente suficientemente bien la figura de la Tierra en su totalidad. Se considera como un elipsoide de revolución ligeramente aplanado, denominado elipsoide terrestre.
-El estudio de la verdadera figura de la Tierra y su campo de gravedad, es decir, su superficie física y la gravedad que actúa sobre ella.
-En menor medida o derivados de los anteriores, se podrían citar la medición de la aceleración de la gravedad, las determinaciones astronómicas de las latitudes y las longitudes terrestres, las observaciones de los satélites artificiales, la elaboración y desarrollo de métodos e instrumentos para la ejecución de mediciones y observaciones de alta precisión, métodos topográficos para el estudio detallado de la forma de la superficie terrestre, etc.
Se pueden definir ahora, unas líneas muy importantes en el estudio de la Geodesia, esto es, en el estudio del planeta Tierra y, por ende, extrapolable a cualquier otro planeta u objeto de forma esférica.
De forma rigurosa y sin entrar en detalles que pueden desviar la atención del espíritu de esta entrada y del blog en general, como ya comenté en otras entradas de corte técnico, se dice que una curva parametrizada no constante Y: I -> S (superficie) es geodésica en un punto t de I si el campo de sus vectores tangentes Y '(t) es paralelo a lo largo de Y en t, es decir, DY '(t) /dt = 0.
Para poder identificar geométricamente algunas geodésicas, el siguiente resultado es especialmente útil:
Una curva regular C incluida en la superficie S (con curvatura no nula) es una geodésica sí y sólo sí, su normal principal en cada punto p de C es paralela a la normal a S en p.
Para ejemplificar lo anterior, se puede afirmar que los círculos máximos de la esfera son geodésicas. De hecho, los círculos máximos C se obtienen al intersecar la esfera con un plano que pase por el centro de la esfera. ¿Por qué? la normal principal en un punto p de C está en la intersección de la recta que conecta p con el centro de la esfera porque C es un círculo de centro el centro de la esfera y así la normal se halla en esta misma dirección. Con este resultado, se afirma que sólo los meridianos y el ecuador (los círculos máximos) son geodésicas.
Se llama curvatura geodésica al valor de la derivada covariante Da '(s) /ds, donde s es la longitud de arco de la parametrización de C. Con esta definición, las geodésicas que sean curvas regulares son las que tienen curvatura geodésica nula.
Y, ¿qué sucede con los otros círculos que no son máximos que pueden surcar la superficie de una esfera? Estos círculos no máximos se llaman líneas loxodrómicas y, rigurosamente, son las líneas que cortan bajo ángulo constante, un haz de planos. Su expresión es (cotgA)(J + q) = Ln tg(v/2 + Pi/4), con variables (J, v), q constante, cotgA constante. Se puede decir que esta línea loxodrómica es la línea que unen dos puntos cualesquiera de la superficie de la esfera cortando a todos los meridianos con el mismo ángulo.
Para acabar esta breve entrada sobre resultados interesantes, y muy importante en el estudio de las triangulaciones en la superficie de una esfera o en la Tierra, se deben considerar las aplicaciones del Teorema de Gauss-Bonnet que, de forma muy sencilla, dice que la cantidad evaluable (el número) de la curvatura gausiana en una variedad compacta bidimensional M más la cantidad evaluable de la curvatura geodésica en el borde de esa variedad, es decir, el valor de la curvatura total en una superficie bidimensional, equivale a 2 * Pi * X(M), siendo X(M) la Característica de Euler de M (es un invariante topológico que describe la estructura de un espacio topológico, como ejemplo, X de un figura tridimensional es la conocida fórmula X = V - A + C, con V vértices, A aristas y C caras).
¿Cómo se puede aplicar el resultado anterior? Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo en el plano (2 dimensiones) es Pi pero en una esfera (3 dimensiones) esa suma es Pi + curvatura del triángulo. Por tanto, la trigonometría esférica no es la misma que la trigonometría en el plano, con unas fórmulas mucho más engorrosas que la habitual y sencilla que se aprende en edades tempranas.
Hasta aquí estos breves apuntes que espero que sirvan para despertar el interés sobre cómo se comportan las líneas y círculos que rasgan la superficie de nuestro planeta, resultados tan usados en la planificación aérea de las líneas de aviones mundiales así como por los satélites que pueblan nuestros cielos y las telecomunicaciones del futuro.
