Una cuestión que se suele plantear cada vez que se hace una escapada a la montaña o estando a cierta altura admirando el paisaje, si se tiene un poco de espíritu crítico, es ¿hasta dónde abarca lo que veo?, es decir, ¿cuál es el límite real de lo que se puede ver desde donde estoy? Es una pregunta que surge de forma espontánea, sobre todo, en días claros sin nubes, y la respuesta es relativamente fácil si no se tiene en cuenta el concepto de "curvatura" de un objeto no plano. Aquí una entrada anterior en la que muestro algunos conceptos relacionados con lo que nos ocupa y, en esta otra entrada un ejemplo curioso sobre el concepto de curvatura.
El Teorema de Pitágoras ha sido y es fundamental en las matemáticas con multitud de aplicaciones. Es un resultado tremendamente sencillo de enunciar y comprender a la vez que increiblemente potente. Dice, sin ser rigurosos, lo bien conocido: en un triángulo en el plano con un ángulo recto, la suma de los cuadrados de los catetos equivale al cuadrado de la hipotenusa. El lector avezado se habrá dado cuenta que he mencionado el teorema con el detalle "en el plano". Pues bien, el teorema es extrapolable a las 3 dimensiones de forma análoga al plano simplemente teniendo en cuenta un paralelogramo y midiendo en su interior una hipotenusa, es muy trivial.
Vamos a aplicar este sencillo teorema a nuestra cuestión inicial. Supongamos para ello, que nos encontramos en un monte a 1000 metros de altitud, admirando el paisaje y nos preguntamos la cuestión inicial de esta entrada. Entonces, si R es el radio de la Tierra, h la altura a la que nos encontramos y vis la distancia que une el horizonte que vemos y la altura a la que nos encontramos, es decir, vis es el segmento visible de la recta tangente a la Tierra que une el punto en el que nos encontramos (en nuestro ejemplo, 1000 metros = 1 kilómetro) con el horizonte. Aplicando pues el teorema de Pitágoras, tenemos (R+h)^2 = R^2 + vis^2. Haciendo unos sencillos cálculos, se obtiene vis^2 = h(2R + h).
Si nos fijamos, 2R + h es, aproximadamente, 2R, ya que h es muy pequeño respecto al radio de la Tierra, por lo que, vis^2 = (aprox) h(2R). El radio de la Tierra R = 6371 km, y h = 1 km, y resulta, una vez despejando vis al hacer la raíz cuadrada, vis = (aprox) 112.88 km. Es decir, desde nuestra posición elevada, si el día está completamente despejado, veríamos el horizonte situado a 112.88 km.
Sin más que variar la altura h a la que se encuentre el observador, se puede calcular de forma sencilla a qué distancia se encuentra el horizonte, de una forma sencilla y rápida.
