Hoy en día estamos rodeados de cables y líneas de alta tensión, que adornan (ironía) las fachadas de los edificios y los montes cercanos a las urbes. Es frecuente que algunos de estos cables pasen de un edificio a otro atravesando calles y azoteas, ante lo cual se puede plantear alguna duda como la que expongo en esta entrada.
Supongamos que se desea lanzar un cable de un edificio a otro y se desea conocer cuál es su punto más bajo, que siempre existe por el propio peso del cable, por mucho que se intente tensar en los extremos (hay que hacer notar que este punto más bajo no tiene por qué coincidir con el punto medio de la longitud del cable, lo cuál sucede solo cuando las alturas de los extremos son iguales). Quizás se desea saber este punto más bajo del cable por motivos de seguridad para que no afecte a los vecinos, o por atravesar una calle con arbolado, obstáculos o un sin fin de situaciones. Para ello es interesante conocer ese punto (recordemos aquí que en la ecuación de este tipo de cables están involucrados el seno y el coseno hiperbólicos). Voy a plantear con números concretos y a modo de ejemplo esta situación y, para simplificar los cálculos, lo plantearé en el plano, es decir, con dos coordenadas en lugar de tres, así es más sencillo y más visual.
Supongamos
que tenemos un cable de 15 metros de longitud suspendido por
su propio peso de dos puntos fijos, por ejemplo, A(-7, 9) y
B(5, 6). Vamos a
calcular el punto de equilibrio que es el punto más bajo que alcanza
el cable. Como no están a la misma altura, este punto de equilibrio no coincidirá con el punto medio entre A y B, que es M(-1, 15/2).
Sea
P(x, y) el punto
genérico que representa la posición del punto de equilibrio. Se
sabe que
PA + PB es constante, por tanto, el lugar geométrico es una elipse. El punto de equilibrio se alcanza cuando el punto genérico P está más próximo al eje OX (si planteamos el problema en el plano, como hemos supuesto). Es claro que, ,en esta posición, la recta tangente a la elipse es paralela al eje OX. Vamos a sustituir todos estos datos en las ecuaciones correspondientes:
-La ecuación de la elipse de focos A y B y valor 2a = 15 es [(x + 7)2 +(y – 9)2] + [(x – 5)2 +(y – 6)2] = 15 que, simplificando, se obtiene 9x2 + 24y2 + 8xy – 42x – 352y + 849 = 0.
-La ecuación de la recta tangente en la posición más baja es, por ser paralela al eje OX, de la forma y = k. Si esta ecuación ha de ser tangente a la elipse, su intersección ha de ser un punto doble. Al sustituir se obtiene 9x2 + 2(4k -21)x + 24k2 -352k+ 849 = 0.
Para que esta ecuación tenga una raíz doble, su discriminante ha de ser nulo, por lo que (4k – 21)2 - 9(24k2 -352k + 849) = 0 k2 -15k + 36 = 0 cuyas raíces son k1 = 3, k2 =12.
Así pues, las rectas tangentes paralelas al eje OX son y = 3; y = 12. Como y = 12 es mayor que cualquiera de las ordenadas de los puntos A y B, la descartamos por ser la tangente superior y nos quedamos con la recta tangente y = 3 que es la tangente inferior, la que nos interesa.
Ahora,
simplemente sustituyendo en la ecuación de la elipse se tiene x
= 1,
por lo que el punto de equilibrio pedido es P(1,
3). Destacar que no coincide con el punto medio M calculado más arriba.
Con
este sencillo ejemplo hemos calculado un punto importante en un
tendido eléctrico como es el punto central de equilibrio, un punto interesante en la maraña de cables urbanitas.
