Supongamos que se pretende construir un túnel, ya sea ferroviario o no, entre dos poblaciones, o un puente que atraviese un río o una depresión del terreno, o conocer a qué distancia está un punto de otro pero no poder medirla físicamente, en definitiva, conectar dos puntos por una línea recta teniendo en cuenta que entre ellos existe algún tipo de obstáculo. En todos estos supuestos se desea saber la distancia que existe entre dos puntos en línea recta. Hoy traigo aquí la respuesta a esta duda sin más que aplicar la teoría de la resolución de triángulos planos.
Por ejemplo, supongamos que entre dos puntos, “a” y “b” existe una montaña y se quiere conocer la distancia que hay entre ellos, llamémosla “x”, para construir un túnel que los una en línea recta, como en el primer ejemplo del comienzo de esta entrada. Estos puntos a y b están conectados a otro punto “c” y se conocen las distancias entre ellos de tal modo que entre a y c hay 375 metros y entre b y c hay 315 metros. Las rectas “ac” y “bc” se cortan en c y forman un ángulo de 45º. Aplicando el Teorema del Seno, se obtiene x/ sin45º = 315/ sinA = 375/ sinB, donde A y B son los ángulos opuestos a los lados a y b respectivamente.
Tenemos así el sistema:
xsinA = 315sin45º
xsinB = 375sin45º
Es un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas pero se sabe que los ángulos A y B están relacionados por la ecuación A + B + 45º = 180º A = 135º – B.
Así, sinA = sin(135º – B) = sin 135ºcosB – sinBcos135º, donde hemos empleado la fórmula sin(P – Q) = sinPcosQ – sinQcosP.
El sistema anterior queda pues, de la forma:
x(sin135ºcosB – sinBcos135º) = 315sin45º
xsinB = 375sin45º
Después de realizar algunas operaciones y simplificar, teniendo en cuenta la relación básica de la trigonometría plana sin2f + cos2g = 1 y que sin45º = 2 /2, se obtienen los valores sinB = 0,9999928, por lo que B (aproximado) 1,567 rad 89º. De estas dos soluciones nos quedamos con la positiva porque -89º = 271º, que no cumple la relación A + B + 45º = 180º.
Despejando, A 46º x = (2/ 2) (315/ sin46º) x 495 metros.
No he querido ir “arrastrando” decimales para no entorpecer el objetivo de estas cuentas que no era otro que mostrar un método para calcular esas distancias rectas que se antojan complicadas al existir esos obstáculos que brinda la naturaleza y que dificultan el desarrollo de las infraestructuras tan necesarias para el hombre avanzado.
