Es sabido que una función continua no necesariamente ha de ser derivable y como ejemplo se puede citar la función valor absoluto: para que una función sea derivable (en todo punto, se entiende, ya que en el caso de la función valor absoluto, estrictamente, es derivable en todo su dominio de definición salvo en el punto x = 0, aunque existen funciones que son continuas en todo punto de su dominio y no derivables en ningún punto pero para tomar como ejemplo son más complicadas de presentar) han de existir las derivadas por la izquierda y por la derecha, que en sí son límites laterales, y han de coincidir. La afirmación “toda función continua es derivable” estuvo en la mente de los matemáticos sin poder demostrarla hasta que Weierstrass echó por tierra esta idea `creando´ un contraejemplo con una función muy extraña para su época dado que es una función fractal, concepto no estudiado hasta más de un siglo después.
También es sabido que toda función derivable es continua, por el simple hecho de la forma en la que se define la derivada de una función.
La pregunta natural que surge de la anterior afirmación es, ¿la derivada de una función continua es también continua? Cabría pensar, por intuición, que la respuesta es afirmativa pero no es así, no siempre sucede ésto y tal es el motivo de escribir esta entrada. Mostraré una función que no cumple lo pedido y, aunque existen más funciones en tal situación, la prueba para esos otros ejemplos se complica por sus características de definición.
Las funciones seno y coseno, esto es, Sin(x), Cos(x), ∀x∈ℝ, son derivables en todo su dominio de definición y sus derivadas son continuas. No voy a entrar en este echo por su complejidad: para probarlo se necesita la Regla de la Cadena y el Teorema de la Función Inversa. Pero la idea es afirmar que son sencillos ejemplos de funciones, trigonométricas, derivables cuya derivada es continua. ¿Por qué cito estas funciones? Porque el ejemplo de función que contradice que la derivada de una función continua también es continua se basa en una función trigonométrica, como sigue a continuación:
La función f : ℝ ―> ℝ definida por f(x) = x2Sin(1 / x) , ∀x∈ℝ* , f(0) = 0 (siendo ℝ* = ℝ – {0} ), es derivable en ℝ con derivada f ’ (x) = 2xSin(1 / x) – Cos(1 / x), ∀x∈ℝ* , f ‘ (0) = 0.
Sea la sucesión {xn} = {1 / n π}. Así, f ‘ (xn) = (-1)n+1 , ∀n∈ℕ , por ser las funciones seno y coseno periódicas, y {xn} converge a 0. Se deduce rápidamente que f ‘ no tiene límite en cero por ser oscilante: f ‘ (x1) = 1, f ‘ (x2) = -1, f ‘ (x3) = 1,… y así f ‘ (xn) f ‘ (xn+1), ∀n∈ℕ ⇒ ∄ lim f ‘ (xn) cuando x → 0.
Si se toma la función g(x) = x, ∀x∈ℝ, las restricciones de f y g a ℝ* cumplen las hipótesis de la Primera Regla de L`Hôpital con I = ℝ y a = 0 (dichas condiciones son: I intervalo, a∈I, f, g funciones de I – {a} que cumplen que f, g son derivables en I – {a} con g ‘ (x) 0 y lim f(x) = lim g(x) = 0 cuando x → a) por lo que se puede construir el límite del cociente de funciones con garantías. Además, lim f(x) / g(x) = 0 cuando x → 0 pero ∄ lim f ‘ / g ‘ cuando x → 0 por lo que la derivada de la función continua no es continua al no coincidir los límites laterales.
