En Matemáticas existen pocas definiciones negativas por cuanto una definición en este sentido entraña una negación de otro concepto o una negación de unas propiedades. Al escribir estas líneas sólo me vienen a la mente la definición de conexión topológica (un espacio topológico se dice conexo si NO existe dos subconjuntos suyos tales que, etc) y la que aquí traigo.
Al hablar de conjuntos se dice que tienen el mismo número de elementos cuando existe una aplicación biyectiva de un conjunto sobre el otro, esto es, cada elemento de un conjunto “viaja”, de forma única, a un único elemento del otro conjunto. No voy a tratar aquí algunas estructuras especiales como son el núcleo del conjunto de partida (kernel) o el conjunto imagen en el conjunto de llegada, lo que da para otra interesante entrada.
La idea anterior, de manera formal, sigue aquí:
Un conjunto A se dice equipotente a otro conjunto B si existe una aplicación biyectiva de A sobre B y se escribe de la forma A~ B.
Se deduce claramente que A~A (propiedad reflexiva), si A~B⇒B~A (propiedad simétrica) y, si A~B y B~C⇒A~C (propiedad transitiva), para cualesquiera conjuntos A, B y C. Estas tres propiedades denominan a la relación `~´ como relación binaria de equivalencia (RBE). Un conjunto se dice numerable si está en biyección con el conjunto de los números naturales ℕ , es decir, existe una RBE.
Ahora vamos a llamar S(n) = {m∈ℕ : m ≤ n}. Este conjunto es el de todos los números naturales que son menores o iguales a un número natural dado. Así, es claro que S(n) tiene n elementos. Una propiedad importante de este conjunto es que si m y n son números naturales tales que S(m)~S(n) entonces m = n (esta afirmación se prueba por inducción).
Y ahora viene lo más importante de esta entrada que da pie a un concepto que aparenta ser obvio pero que entraña una altísima complejidad:
Un conjunto A se dice finito si es vacío (A = Ø) o si existe un número natural n tal que A es equipotente a S(n). La propiedad anterior asegura que ese número natural n es único y define el número de elementos del conjunto A. Para que a nadie se le quede la duda, el número de elementos del conjunto vacío es 0 por convenio.
He aquí pues la bomba anunciada: un conjunto se dice infinito si no es finito. Un ejemplo sencillo es, por haberlo citado ya, afirmar que el conjunto de los números naturales ℕ es infinito. Es más, es el infinito más pequeño de entre los conjuntos infinitos, pero esa es otra explicación...
La definición negativa de un concepto en el que se basa gran parte de la matemática no convence a algunos escépticos (me incluyo) por el hecho de que no es un concepto puro sino que se basa en uno que sí lo es (el de conjunto finito), lo que debe causar, en mi opinión personal, algo de rechazo. De forma similar, se podría razonar con el concepto de frío o calor: el frío como concepto no existe puesto que se define como la ausencia de calor: no existe nada en la naturaleza que produzca frío (salvo una máquina específica, humana claro, que se basa en calor…) sino que éste es la ausencia paulatina de calor.
Recuerdo a un profesor de la universidad que en una sola frase dilapidó siglos de investigación y profundidad de ideas: “sólo existen tres tipos de conjuntos; los finitos, los infinitos y los infinitos numerables”. Cuando uno va tomando conciencia de lo que ha estudiado en la universidad acaba despreciando ese tipo de frases por ser vacías y casi dañinas para quien se las cree sin más.
Los conjuntos infinitos son muy interesantes al igual que los números más allá del infinito, los llamados transfinitos, formando estructuras importantes y de gran interés que exhorto al lector a que tenga curiosidad a que investigue un poco.
