Propongo aquí un interesante ejercicio ejemplarizante sobre lo que sucede a nuestro alrededor, hablando en términos extraplanetarios, y en lo que se convierten ciertos objetos estelares bajo ciertas condiciones. Pero antes, explicaré en lo que sigue, un poco de teoría sin la terminología científica que debe ser la habitual, en términos rigurosos.
La Teoría de la Relatividad de Einstein explica la influencia de la gravedad sobre la propagación de la luz. Es bien conocido que ésta se comporta como materia y como onda: es lo que se conoce como "dualidad onda-corpúsculo". Explico estos conceptos en la entrada Sonido, Luz, Ondas, Huygens. El efecto de la desviación de los rayos luminosos por la gravedad es muy importante cuando la materia de un objeto estelar especial, una estrella de neutrones, no encuentra freno y entra en colapso. Mencionar, sucintamente, que una estrella de neutrones es un objeto estelar muy denso, pequeño y muy caliente, con un campo magnético excepcionalmente potente, que gira sobre sí mismas a velocidades muy elevadas y, algunas de ellas, emiten radiación en forma de púlsares. Fascinantes. Voy a describir muy brevemente, la conversión de estas estrellas en los no menos fascinantes agujeros negros (black holes).
Supongamos que pudiéramos seguir el proceso que afecta a una estrella de neutrones. Al principio, todo permanece en un endeble equilibrio pero sobre su superficie comienza a notarse la curvatura de los rayos luminosos por el efecto de la elevada gravedad. Los rayos de luz emitidos se curvan, primero de forma oblicua aunque aún son capaces, a pesar de una curvatura inicial, de alejarse lo suficiente de la intensa gravedad como para continuar en línea recta a través del espacio. Si ahora la masa de la estrella crece lentamente y comienza el colapso porque la presión interior es insuficiente, la gravedad aumenta rápidamente. Pronto, la curvatura de luz es tan intensa que un rayo de luz horizontal a la superficie del cuerpo da varias vueltas a su alrededor antes de poder escapar de la creciente gravedad. Cada vez les cuesta más a estos fotones luchar contra la gravedad y cuando la estrella alcanza un radio de no más de 8,9 kilómetros, la luz ya no puede salir de su superficie. La gravedad curva con tanta intensidad los rayos de luz emitidos que éstos vuelven a caer a la estrella y se produce la oscuridad a ojos externos aunque el objeto sigue estando ahí pero de una forma que la Física actual todavía no conoce. Todo este proceso, en tiempo estelar, puede ser corto (unos millones de años) aunque depende, naturalmente, de la masa del objeto inicial: cuanta mayor masa, más tardará en formarse el agujero negro.
Cabe preguntarse ahora, ¿cuál es ese límite del radio de un cuerpo hasta el que debe comprimirse a partir del cual la luz que emite ya no puede escapar de él? Este límite se llama radio de Schwarzschild cuya expresión es la sencilla r = 2Gm / c2, siendo G la constante de gravitación universal, m la masa del objeto y c la velocidad de la luz.
Después
de esta (interesante) introducción vayamos a la consideración
inicial. El problema dice así:
Utilizando la Ley de Conservación de la Energía, calcular el radio que debe tener la Tierra para que sea un agujero negro. La masa de la Tierra es 5,98 x 1024 kg y su radio 6,37 x 106 m. La velocidad de escape es la velocidad mínima que se debe suministrar a un cuerpo para que logre vencer el campo gravitatorio de otro. Para que un objeto escape de la Tierra y no regrese, debe lanzarse con una velocidad mayor que la que se requiere para ponerlo en órbita (se puede ver más en la entrada Otra Ecuación Diferencial Interesante: Cohetes ). Consideremos una velocidad de escape tal que, cuando a un objeto se la imprimimos, éste tenga una velocidad cero en un punto en el “infinito”, en donde su energía total, E, que es la suma de su energía cinética y su energía potencial, será: E = mv2 /2 + GmM /R = 0. Como la energía se tiene que conservar, entonces, en el momento del lanzamiento, la energía cinética se iguala a la energía potencial, esto es, mv2 /2 = GmM /R , donde v es la velocidad de escape, G = 6,67 x 10-11 m3 kg-1 s-2, m es una masa cualquiera que no afecta al razonamiento ya que sabemos que se va a simplificar en los cálculos, M la masa de la Tierra M = 5,98 x 1024 kg, y R es el radio de la Tierra, R = 6,37 x 106 m. Despejando v = (2GM R)1/2
Como, ningún objeto puede viajar mas rápido que la velocidad de la luz en el vacío (c = 3 x 108 m/s), esto implica que la máxima velocidad de escape es c. Entonces la ecuación para calcular el radio que debería tener la Tierra para que fuera un agujero negro es RT = 2GM /c2
Solo queda sustituir los valores de G, M, c, y obtenemos RT = 8.8 x 10-3 m = 8.8 mm , es decir, el diámetro que debería tener la Tierra para ser un agujero negro tendría que ser, aproximadamente, el de una canica de las grandes, aquellas con las que no se jugaba pero se apreciaban enormemente.
¿Realmente puede darse esta circunstancia? ¿Puede la Tierra convertirse en un agujero negro? En teoría, cualquier cuerpo con masa puede convertirse en agujero negro pero, una vez formado, la cuestión está en cuánto tiempo duraría y si ganaría masa o la perdería y este hecho depende de la radiación de Hawking que, en pocas palabras, es la "evaporación" del agujero negro, su perdida de masa y tamaño hasta desaparecer aunque tardaría mucho tiempo. Es calculable pero no entraré en ese aspecto, simplemente resaltar que se manejan cifras mayores a un gugol, 10100
En la entrada Números Excepcionales I explico de dónde surge este número y otros muchos.
El inconveniente es que, como se ha visto antes, sería tan pequeño como una canica por lo que emitiría mucha de esa radiación de Hawking y se "evaporaría" muy rápido.
