La serie 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – +... donde los puntos suspensivos indican infinitos términos (lo cual puede parecer obvio pero es muy importante resaltarlo), puede parecer una estructura sencilla de manejar y rápidamente se podría dar con el resultado que, a simple vista, es 0 ya que cada término se anula con el anterior pero, ¿es realmente esto así? Una forma de sumarla podría ser (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) +... = 0 + 0 + 0 +... = 0. Pero otra forma de sumarla puede ser 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ··· = 1 + 0 + 0 + 0 + ··· = 1. ¿Qué está sucediendo?, ¿cuál es la correcta, si es que existe alguna? Curiosamente se podrían agrupar los sumandos reordenándolos y obteniendo un número entero cualquiera, por lo que no existe un único resultado. Esta serie es así por ser una serie de términos infinitos que no es nada trivial, como cualquier otra, y su manejo es complejo.
Un prodigioso matemático indú llamado Ramanujan estudió estas series y las llevó a otro nivel. Su historia es muy interesante y, a pesar de morir joven, dejó un legado impresionante.
E aquí la suma referida en el título de esta entrada: 1 + 3 + 4 + 5 +... = - 1/12 (R).
Pero, ¿ésto qué es? ¿Una suma infinita de términos positivos da como resultado un número negativo? Ramanujan así lo afirmaba. Daré explicación a la R más abajo. Vamos a verlo.
Hoy en día, se sabe que la suma de los "n" primeros números naturales es "el último por el siguiente dividido entre 2", regla que nos enseñaron en secundaria, es decir, 1 + 2 + 3 + 4 + 5+... = n(n + 1)/2, cuya serie infinita es divergente. No voy a entrar en los números de Bernouilli, voy a "resolver" el enigma de esa serie con valor negativo de una forma sencilla y constructiva:
Llamemos s a la suma anterior, s = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - +... Ahora la operación 1 - s = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - +...) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - +... = s (aquí se refleja la gran importancia de los puntos suspensivos a la que hacía mención al comienzo de esta disertación, pues sin ellos la serie sería finita y hacer estas operaciones conllevaría posibles cambios de signo en el resultado final). De la igualdad anterior se deduce que 1 - s = s => s = 1/2.
Ahora consideremos r = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +..., entonces 2r = r + r = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +...) = 1 - 1 + 1 - 1 +... = s = 1/2. Así, 2r = 1/2, por tanto, r = 1/4.
Recordemos que la serie en discordia es S = 1 + 3 + 4 + 5 +... Entonces, S - r = 1 + 3 + 4 + 5 +... - (1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +...) = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 +... = 4 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...) = 4S. Como r = 1/4, se tiene S - 1/4 = 4S y despejando S = - 1/12.
Así se obtiene ese valor tan "raro" de esa suma. Por eso a esta suma clásica se la denomina suma de Ramanujan y se le asigna la letra R en honor al genio indio y para hacer notar que ese signo de igualdad hay que analizarlo bien.
Evidentemente existe un error de comprensión de la matemática no por el hecho de no saber conceptos sino por el tratamiento de esos puntos suspensivos tan importantes. La clave de esta cuestión es asignar un valor "finito" (en nuestro caso las S ó s ó r de esta entrada), que es la primera parte de la igualdad, a un valor "infinito" que proporcionan los puntos suspensivos en la segunda parte de la igualdad. Así se puede demostrar que - 1 = 0: Sea A = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... = - 1 - 1 - 1 - 1 - ... de donde - 1 + A = - 1 - 1 - 1 - 1 - ... = A y de aquí se obtiene - 1 + A = A por lo que - 1 = 0. (¡¡¡!!!). Esta es la locura de tratar con el diablo infinito, que es intratable por la lógica.
