Quizás surgieron algunas dudas en la anterior entrada en la parte en la que doy especial importancia a los "puntos suspensivos": no hay más que ir a aquella curiosidad para dar pie a lo que explico en estas líneas que siguen.
Ahora exhorto al lector a centrar todos sus sentidos en la expresión " 0.999... = 1 ", pues voy a hacer un estudio detallado de lo que significa semejante... aberración matemática. Trivialmente es claro que 1 = 1 y que 2 = 2 y que 0,8734 = 0.8734 pero, ¿se puede afirmar lo mismo de expresiones del tipo 4.672... = 4.672... ?, ¿qué sucede en esos diabólicos puntos suspensivos? Intuitivamente se entiende que son aproximaciones, como cuando se pretende aproximar una raíz cuadrada: nunca se podrá dar un valor exacto pues se obtienen infinitos números decimales, por tanto esos símbolos de igualdad hay que saber tratarlos, y esto no se enseña en la universidad porque para ello hay que comprender lo que es la matemática.
Se puede "probar" de varias formas que 0.999... = 1 : por ejemplo, si consideramos x = 0.999..., entonces 10x = 9.99... y restándole a esta ecuación la primera, se obtiene 9x = 9, de donde x = 1. Aparentemente es impecable. Esencialmente se tiene que 9x + x = 9 + x de donde x = 1. Pero esto sólo sucede si realmente x es cancelable. Otra forma de verlo sería afirmar que 1/3 = 0.333... de donde, multiplicando por 3 la ecuación, se tiene 1 = 0.999... pero este extremo solo es cierto si lo es 1/3 = 0.333... Existen más "métodos" de prueba pero con esos dos es suficiente para el planteamiento.
Se define el conjunto D, corte de Dedekind, a una estructura de la forma {x está en D si x < r} siendo x y r números reales. Este tipo de conjuntos tienen una serie de propiedades en las que no voy a entrar pero que los convierte en interesantes. De tal forma, nuestro 0.999... equivale a la estructura {x está en D si x < 1} mientras que 1 corresponde al corte {x está en D si x < 1 ó x = 1}.
Aquí, se tiene que 0.999... = 1 + 0.000... donde 0.000... ha de ser necesariamente un decimal negativo puesto que suponemos sólo la operación de adición (la suma). Además, no se puede resolver la ecuación 0.999... + x = 1 porque en el corte D, la suma de un número real tradicional con cualquier real es un número real tradicional, es decir, 1 debería ser 1..... pero sólo es "1" sin decimales, por lo que se desmonta la malvada igualdad 0.999... = 1. Así, si fuera cierta, el 1 correspondería al número decimal 0.999... pero no existe un número decimal correspondiente a -1, que sería el corte {x está en D si x < -1}. Se deduce que el tratamiento de los números infinitesimales negativos no es el mismo que el de los positivos y este es un problema abierto.
La intuición en la matemática no siempre se cumple y se debe tratar el detalle y el razonamiento lógico para llegar a la conclusión verdadera y no la meramente intuitiva.
