¿Hasta Dónde se Puede Ver en el Horizonte? Fácil

    Una cuestión que se suele plantear cada vez que se hace una escapada a la montaña o estando a cierta altura admirando el paisaje, si se tiene un poco de espíritu crítico, es ¿hasta dónde abarca lo que veo?, es decir, ¿cuál es el límite real de lo que se puede ver desde donde estoy? Es una pregunta que surge de forma espontánea, sobre todo, en días claros sin nubes, y la respuesta es relativamente fácil si no se tiene en cuenta el concepto de "curvatura" de un objeto no plano. Aquí una entrada anterior en la que muestro algunos conceptos relacionados con lo que nos ocupa y, en esta otra entrada un ejemplo curioso sobre el concepto de curvatura.

   El Teorema de Pitágoras ha sido y es fundamental en las matemáticas con multitud de aplicaciones. Es un resultado tremendamente sencillo de enunciar y comprender a la vez que increiblemente potente. Dice, sin ser rigurosos, lo bien conocido: en un triángulo en el plano con un ángulo recto, la suma de los cuadrados de los catetos equivale al cuadrado de la hipotenusa. El lector avezado se habrá dado cuenta que he mencionado el teorema con el detalle "en el plano". Pues bien, el teorema es extrapolable a las 3 dimensiones de forma análoga al plano simplemente teniendo en cuenta un paralelogramo y midiendo en su interior una hipotenusa, es muy trivial. 

   Vamos a aplicar este sencillo teorema a nuestra cuestión inicial. Supongamos para ello, que nos encontramos en un monte a 1000 metros de altitud, admirando el paisaje y nos preguntamos la cuestión inicial de esta entrada. Entonces, si R es el radio de la Tierra, h la altura a la que nos encontramos y vis la distancia que une el horizonte que vemos y la altura a la que nos encontramos, es decir, vis es el segmento visible de la recta tangente a la Tierra que une el punto en el que nos encontramos (en nuestro ejemplo, 1000 metros = 1 kilómetro) con el horizonte. Aplicando pues el teorema de Pitágoras, tenemos (R+h)^2 = R^2 + vis^2. Haciendo unos sencillos cálculos, se obtiene vis^2 = h(2R + h).

  Si nos fijamos, 2R + h es, aproximadamente, 2R, ya que h es muy pequeño respecto al radio de la Tierra, por lo que, vis^2 = (aprox) h(2R). El radio de la Tierra R = 6371 km, y h = 1 km, y resulta, una vez despejando vis al hacer la raíz cuadrada, vis = (aprox) 112.88 km. Es decir, desde nuestra posición elevada, si el día está completamente despejado, veríamos el horizonte situado a 112.88 km.

   Sin más que variar la altura h a la que se encuentre el observador, se puede calcular de forma sencilla a qué distancia se encuentra el horizonte, de una forma sencilla y rápida.

Método de Mínimos Cuadrados de Gauss

 

    Se encuadra dentro de la optimización matemática, es decir, maximizar o minimizar una función, dadas unas condiciones iniciales, para obtener unos resultados lo más aproximados posibles a las soluciones reales. El objetivo de este método es encontrar la función que mejor se ajuste a unos datos dados. La idea es: supongamos (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (x_n, y_n) parejas de datos de observaciones de las variables X e Y. Supongamos que entre estas variables existe una relación, que definimos por la función f, de tal manera que f(x_i) = y_i para i = 1, 2, …,n. El método de mínimos cuadrados pretende encontrar la función que haga mínimos lo errores que se definen como la diferencia entre el valor real de la variable Y y su estimación por medio de f. Dichos errores se definen entonces como e_i = y_i – f(x_i), por tanto, se trata de que la suma de estos errores sea la menor posible. ¿Por qué se le llama método de mínimos cuadrados? Porque elevando al cuadrado se elimina la posibilidad de que se contrarresten los errores positivos con los negativos y, además, se permite despreciar los errores más pequeños debidos, quizás, a las imprecisiones en la toma de datos (es sabido que al elevar al cuadrado los números comprendidos entre -1 y 1, el resultado es menor que número inicial). 

En definitiva, el método pretende minimizar la función,

lo cual es equivalente a minimizar la función

 

(es decir, derivar e igualar a cero para conseguir los puntos críticos de la función, derivar por segunda vez y comprobar si esos puntos críticos son mayores que cero).

La dificultad de este método estriba en cómo de “mala” sea la función f en cuanto a su complejidad. El caso más sencillo sería en el que dicha función sea una recta del tipo Y = a + bX, donde a y b se obtienen a partir de los n datos bidimencionales (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (x_n, y_n).

Derivando, como comenté antes, se llega a las expresiones

       

llamadas `ecuaciones normales´, de donde se despejan a y b, que toman la forma

 

siendo

 , , , ,

la covarianza de X e Y, la varianza y la media de X y la media de la variable Y. La recta que surge de estos datos se denomina `recta de regresión´.

   Es decir, partiendo de n datos iniciales, la recta de regresión (la forma más sencilla del método de mínimos cuadrados), nos ayuda a calcular el posible valor de una variable a partir del valor conocido de otra.

   Este método es ampliamente utilizado en estadística, en particular, en inferencia estadística, que trata de sacar conclusiones generales de una población a estudio a partir de una muestra representativa de ésta. La inferencia se basa pues, en lo que se denominan `estimadores´ que son funciones de la muestra considerada. Como conclusión de esta parte final, cabe resaltar la existencia de un resultado llamado Teorema de Gauss-Markov que afirma que, muy sucíntamente, según determinadas hipótesis (complicadas y casi tediosas para lo que pretendo mostrar), el estimador obtenido por el método de mínimos cuadrados es óptimo, es decir, esa función de la muestra es la mejor, la más eficiente, de ahí la importancia del estudio de los estimadores y de este método tan intuitivo que Gauss desarrolló y nos dejó para la posteridad.

Construcciones (No Construibles) con Regla y Compás

    Expongo aquí las demostraciones rigurosas de dos cuestiones muy básicas de nombrar, como son la imposibilidad de cuadrar el círculo y duplicar el cubo, con el uso tangible de instrumentos físicos, esto es, con el uso de regla y compás de la forma geométrica clásica:

1) No es posible la construcción con regla y compás de un cuadrado cuya área coincida con la del círculo de radio la unidad.

Para ello, supongamos lo contrario, es decir, lo que se conoce como la demostración por el método de reducción al absurdo. Sean pues, A_i = (a_i, b_i), con i = 1, 2, 3, 4 los vértices consecutivos de un cuadrado de área π. Sin entrar en detalles escabrosos, existe un resultado que garantiza que un punto se puede construir a partir del conjunto de puntos del plano P = {(0, 0), (1, 0)}, si una extensión de cuerpos a partir del menor subcuerpo de R (conjunto de números reales) que contiene a Q (conjunto de números racionales) es potencia de 2. No entraré en esto, ya que el objetivo de esta entrada ha de ser simple y no la pérdida de interés en el resultado final. Con esto en mente, se considera ese menor subcuerpo como el propio Q. Así, una extensión de él, E/Q, es algebraica, donde E = Q(a₁, b₁, a₂, b₂). Pero contradice la trascendencia de π (esto es, no es raíz de ningún polinomio), ya que π = (a₁ – a₂)² +( b₁ – b₂)² que pertenece a E. Así, no es posible encontrar el cuadrado inicial.

2) No es posible construir con regla y compás un cubo cuyo volumen sea el doble del de otro dado.

Para este caso, es suficiente probar que no es posible construir un cubo de volumen 2. Supongamos, al igual que antes, la reducción al absurdo para llegar a una contradicción, por lo que se asume que sí se puede construir y fijamos una cara de dicho cubo apoyada en el plano x₃ = 0 de R³. Si obviamos la tercera coordenada, llamamos A = (a₁, a₂) y B = (b₁, b₂) a dos vértices consecutivos en dicha cara. Estos puntos son construibles con regla y compás, según vimos más arriba y se tiene x = (a₁ – a₂)² +( b₁ – b₂)² que está en E = Q(a₁, b₁, a₂, b₂).

Haciendo operaciones (largas) se obtiene x³ = 4 por estar en E. Así pues, una extensión de E sobre Q es múltiplo de 3 (ya que un polinomio en x sobre Q es de la forma T³ – 4). Veamos, rápidamente, que esa extensión de E es potencia de 2, con lo que llegaremos a una contradicción: Si escogemos el conjunto de puntos del plano P = {(0, 0), (1, 0)} al que le añadimos el punto A, esto es P = {(0, 0), (1, 0), (a₁, a₂)} y p = B, que es construible a partir de P, como mencionaba antes, se tiene que la la extensión de cuerpos a partir del menos subcuerpo de Q que contiene a A, es potencia de 2, por lo que obtenemos la contradicción buscada.

No he pretendido entrar en detalles que velan el objetivo final de estas líneas, que es el mostrar con rigor, aunque por encima, lógicamente, dos hechos bien conocidos sobre las construcciones geométricas tangibles con regla y compás y espero que sirvan como curiosidad y se tomen con el mismo interés que las demás entradas de este blog.

Es evidente que se pueden construir con regla y compás muchas figuras que, de hecho, se realizan en estudios básicos de secundaria como son la recta perpendicular a otra dada, la recta paralela a otra dada que pase por un determinado punto o el punto medio de un segmento que une dos puntos dados, construcciones muy fáciles que me divertían en el instituto. Es bueno recordarlas.