En alguna ocasión esporádica he escrito en este blog sobre distancias aunque no en los términos que aparecen en la entrada que aquí propongo (se puede buscar información sobre este hecho en el buscador situado en la columna derecha, más abajo, escribiendo “distancia”, “geodésicas” o “curvatura”), por lo que entraré con más detalle, en lo que sigue, sobre esta cuestión.
Que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta es lo que el ciudadano de a pie tiene interiorizado y responde a su idea de proximidad. En esta entrada mostraré que no siempre es así ofreciendo datos y ejemplos concretos. Es claro que la noción de proximidad está íntimamente relacionada con la noción de distancia, ya sea proximidad entre objetos, conjuntos, elementos, personas, conceptos, pensamientos, etcétera. Matemáticamente es un sustantivo abstracto, que es la base para la creación de estructuras complejas basadas en espacios métricos, como son los espacios topológicos y sus propiedades: conexión, compacidad, espacios cocientes,…. La proximidad entre conjuntos implica la proximidad entre los elementos de esos conjuntos y cómo es esa relación, es decir, esa distancia. Voy a introducir ahora la definición y aplicaciones precisas de lo mostrado anteriormente:
Un espacio pseudométrico es un par (X, d) donde X es un conjunto y d : X x X ―> ℝ una función llamada distancia que cumple las propiedades siguientes para cualesquiera elementos {a, b, c} ∈ X
1) d(a, b) ≥ 0
2) d(a, a) = 0
3) d(a, b) = d(b, a) propiedad simétrica.
4) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b) desigualdad triangular, con a, b, c distintos entre sí.
El espacio es métrico cuando, además, se cumple que si d(a, b) = 0 ⇒ a = b, por lo que se tendrá una distancia métrica.
-Si X = {a} es un conjunto con un único elemento, es evidente que solo existe una única distancia definida por d(a, a) = 0
-Si X = {a, b} es un conjunto formado por dos elementos, sabemos que toda distancia sobre X ha de cumplir que d(a, a) = d(b, b) = 0 y que d(a, b) = d(b, a). Como no existen tres elementos distintos, automáticamente se cumple la desigualdad triangular. Así, existe una biyección entre las distancias y los números reales no negativos λ = d(a, b).
-Sea ahora un conjunto X que admite dos distancias definidas por d1(a, b) = 0, ∀ a, b ∈ X, y d2(a, b) = 0 si a = b y d2(a, b) = 1 si a b.
Es fácil ver que d1 es una distancia métrica pero d2 no lo es si X tiene más de un elemento. Así, d1 se llama distancia indiscreta y d2 distancia discreta. Por tanto, (X, d1) se llama espacio pseudométrico indiscreto y (X, d2) espacio métrico discreto.
-Teniendo en cuenta las propiedades del valor absoluto, es fácil probar que d : ℝ x ℝ ―> ℝ definida por d(a, b) = |a – b| es una distancia métrica llamada distancia euclídea de la recta.
-Si se define d : ℝ2 x ℝ2 ―> ℝ como d(a, b) = [(a1 – b1)2 + (a2 – b2)2] ½ , con a = (a1 , b1) y b = (a2 , b2) , se prueba fácilmente, como en el caso anterior, que es una distancia métrica llamada distancia euclídea del plano (vulgarmente conocida como “la distancia más corta entre dos puntos”, que introduce el pensamiento de la primera frase de esta entrada).
-Un ejemplo curioso lo constituye la distancia (es fácil probar que lo es) d(a, b) = |a1 – b1 | + |a2 – b2 | , con a = (a1 , b1) y b = (a2 , b2) , denominada distancia taxi o distancia Manhattan puesto que se basa en un mapa formado por calles perpendiculares entre sí, por lo que un taxi, para ir de un punto a otro de la ciudad, lo haría de forma escalonada por la estructura de las calles, y no de forma recta. Este es un claro contraejemplo en el plano de una distancia que no cumple la manida frase “la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta”, ya que, con esta distancia, no se pueden “atravesar” edificios y el camino tiene forma escalonada, como he comentado.
-Otro sencillo ejemplo es el siguiente: sea X el conjunto de todas las funciones acotadas f : ℝ ―> ℝ , es decir, el conjunto de todas las funciones para las que existe k ∈ ℝ , de modo que | f(x) | ≤ k, ∀ x ∈ ℝ. Entonces d(f, g) = sup { | f(x) – g(x) | ; x ∈ ℝ } define una distancia métrica sobre X (es fácil probar esto).
-También es una distancia la siguiente: sea X un conjunto y f : X ―> ℝ una función cualquiera. Entonces, d(x, y) = | f(x) – f(y) | es una distancia sobre X pero no es una distancia métrica ya que d(x, y) = | f(x) – f(y) | = 0 ⇒ f(x) = f(y) pero esta igualdad no quiere decir que x sea igual a y salvo que la función f cumpla ciertos requisitos. Para el caso general, d así definida es una distancia que no es una distancia métrica.
-Una propiedad interesante que cumple cualquier distancia d es:
| d(x, a) – d(y, a) | ≤ d(x, y)
| d(x, a) – d(y, b) | ≤ d(x, y) + d(a, b)
Hay que notar que aquí no se dice nada sobre cómo ni cuál es d ni sobre qué estructura se define (la recta, el plano, un espacio n -dimensional, un conjunto cualquiera, ...), simplemente se supone que los elementos son distintos entre sí.
Sin hacer una demostración rigurosa, intuitivamente se observa, para la primera desigualdad que, suponiendo los tres elementos distintos entre sí, si “inducimos” la introducción de un elemento “a ” entre x e y , la diferencia de distancias entre éstos y “a “, es decir, haciendo pasar la distancia existente entre x e y por el elemento “a “, se está consiguiendo restar dos valores muy parecidos entre sí, por lo que, tanto si están muy cerca entre sí x e y como si están muy alejados, d(x, a) es muy parecida en valor numérico a d(y, a) y así, su diferencia positiva (de ahí el uso del valor absoluto) es menor o igual a d(x, y) , y la igualdad se da en el caso de que “a “ fuera x ó y.
La segunda desigualdad es parecida a la primera pero hay que hacer notar que en la primera parte de la desigualdad aparece una resta y en la segunda parte aparece una suma e, intuitivamente, es fácil imaginar los elementos y sus disposiciones razonando como el párrafo anterior. Como antes, la igualdad se da si alguno de los elementos coincide con algún otro.
Distintos ejemplos y distintas propiedades de las distancias, para no quedarnos sólo con “la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta”. Por supuesto que existen muchas más distancias y las aquí explicadas se pueden generalizar a más dimensiones sin perder generalidad aunque he querido mantener las coordenadas en el menor número posible (la recta, el plano y conjuntos con pocos elementos) para no desviar la atención sobre lo que quería explicar.
