Ya he usado con anterioridad en este blog las ecuaciones diferenciales y he comentado su importancia en las entradas Una Ecuación Diferencial Importante y Desintegración Radiactiva: Ecuación Diferencial , la cual ampliaré aquí con un ejemplo más, esta vez de la datación egiptológica de artefactos o, quizás, lo más importante de esta fascinante época de la humanidad, las personas que gobernaron y, por ende, lo que queda de ellas, sus cuerpos momificados. Recordaré, en primera instancia, el mecanismo teórico usado y su posterior aplicación sencilla al caso concreto de la época egipcia comentada.
Ley de Elster y Geitel de desintegración radiactiva (“la actividad de una sustancia radiactiva pura disminuye con el tiempo de forma exponencial”): Si llamamos N al número de núcleos que aún no se han desintegrado en un tiempo t , el número de emisiones por unidad de tiempo será proporcional al número de núcleos existentes, que matemáticamente se expresa como dN / dt = -λN , donde el signo negativo indica que el número de núcleos disminuye con el tiempo. Si integramos esta sencilla ecuación diferencial se consigue la ley de emisión radiactiva N = N0 · e-λt , donde N es el número de núcleos radiactivos que no se han desintegrado todavía,N0 es el número de núcleos radiactivos iniciales, λ es la constante proporcional radiactiva y t es el tiempo transcurrido. El número de emisiones por unidad de tiempo, dN / dt , se denomina A (actividad), que es la velocidad de desintegración
Si T es el periodo de semidesintegración, esto es, el tiempo necesario para que se desintegren la mitad de los núcleos iniciales N0 , entonces se deduce de la expresión de la ley N0 = N0 · e-λT ⇒ T = Ln2 / λ
Vamos a aplicar este resultado a un ejemplo concreto:
El periodo de semidesintegración del carbono-14 es de 5730 ± 40 años. El análisis de una muestra de una momia egipcia revela que presenta las tres cuartas partes de la radiactividad de un ser vivo. ¿Cuál es la edad de la momia?
Aplicamos pues este importante resultado a la momia y al ser vivo:
momia: ¾ (actividad) = λ · N0 · e-λt
ser vivo: (actividad) = λ · N0
Dividiendo ambas expresiones, se tiene: ¾ = e-λt = e-t Ln2 / T
Se simplifica esta expresión tomando logaritmos en ambos miembros:
-tLn2/ T = Ln ¾ ⇒ t = (5730 · 0,2877) / 0,693 = 2378,8 años, que se puede aproximar a 2379 años.
Se ha visto así que este método es muy fácil de aplicar y requiere pocos datos iniciales y se ha demostrado que posee un gran desempeño para las cuestiones técnicas de los requerimientos arqueológicos.
