Supongamos que queremos “jugar” en Bolsa. Nuestro broker de confianza nos facilita información sobre dos productos de especial interés en estos momentos en el mercado. Las acciones de la empresa tecnológica A están a 2€ la unidad y las acciones de la empresa farmacéutica B están a 2,6€. Si decido comprar hoy puedo gastar 7€ por cada combinación de las empresas A y B, es decir, 2x + 2,6y = 7. Además, nuestro broker puede conseguir invertir un poco más en cada bloque pero a un precio algo mayor de la empresa A, por cuestiones de incentivos fiscales, de tal manera que la relación queda 2,5x + 2,6y = 10.
No nos convence el mercado actual y decidimos esperar un par de días. Pasado ese tiempo, el valor de la acción de la empresa A ha variado, manteniéndose el de la empresa B, con lo que nos quedan las relaciones 2x + 2,6y = 7 ; 2,55x + 2,6y = 10. Esto es, ha variado el valor de la acción de la empresa A para la segunda opción de los incentivos fiscales. A simple vista parece que las empresas A y B se han mantenido estables y que hubiéramos conseguido el mismo beneficio al invertir el primer día que al invertir dos días después. Pero, ¿realmente es así?
Para obtener la respuesta ante esta situación hay que saber si el sistema de ecuaciones correspondiente al primer día está bien condicionado, es decir, si es “sensible” o no.
La solución del primer sistema es (6, 0,38), lo que, en lenguaje común significaría que podríamos haber comprado el primer día 6 acciones de la empresa A y casi una de la empresa B. La solución del segundo sistema de ecuaciones debería ser muy parecida a la del primer sistema por ser unas ecuaciones que varían muy poco, pero la solución es (5,45, -1,5), es decir, a los dos días podríamos haber comprado unas 5 acciones de la empresa A pero deberíamos VENDER acciones de la empresa B para mantener el equilibrio, lo cual no entraba en nuestros planes iniciales de diversificar nuestros fondos. Entonces, ¿qué ha sucedido?
El sistema inicial del primer día está mal condicionado, lo cual significa que pequeñas variaciones en las ecuaciones de entrada suponen grandes variaciones en los datos de salida. En cierto modo, se podría denominar “sistema caótico”. La teoría nos dice que la condición de un sistema de ecuaciones depende de la condición de su matriz de coeficientes asociada, llamémosla X, de tal manera que el número de condición Cond(X) = ||X || · ||X-1 ||, siendo || · || la norma. La más sencilla podría ser la norma 1 ó la norma ∞, que suponen, respectivamente, sumar por filas en valor absoluto y quedarnos con el mayor valor o sumar por columnas en valor absoluto y quedarnos con el mayor valor. Si Cond(X) es mucho mayor que 1 , Cond(X) » 1, (este valor siempre es positivo por construcción) entonces el sistema está mal condicionado y sucede como en el ejemplo. Cuanto más se aleje este valor de 1, peor condición tendrá el sistema.
En nuestro ejemplo, el número de condición de la matriz asociada al sistema de ecuaciones del primer día es, realizando los cálculos, 26,52, muy por encima del valor de referencia 1 , por lo que tenemos un sistema mal condicionado y es por eso que una pequeña variación en las ecuaciones, como sucede en la situación pasados dos días, supondría, no solo no comprar acciones a buen precio sino tener que vender acciones para poder mantener el equilibrio inicial, lo que supondría un desastre para nuestras supuestas inversiones.
¿Qué se puede hacer para solucionar este fallo? Lo mejor siempre es afinar todo lo posible en los cálculos iniciales y trabajar con la mayor precisión posible para minimizar los desajustes reales de los resultados que se preveían diferentes.
