La igualdad 2 + 2 = 0 haría quemar
cualquier calculadora que se precie y cualquier ordenador de última generación
aunque solo las pantallas de semejantes artilugios porque, internamente,
funcionan tal y como afirma esa igualdad. Voy a explicar cómo se llega a semejante herejía.
Mis ex alumnos de ingeniería superior en informática de
sistemas no entendían algo tan sencillo pero tenían una disputa interna porque,
de alguna manera, sabían que lo que les daría de comer en el futuro (los
ordenadores) trabajaban de esa forma.
La explicación que daba en aquellos momentos y que doy
ahora, es tan sencilla que nunca acabé de comprender las razones místicas por
las que no me lo explicaron a mí de esta forma. Mis profesores universitarios
siempre trataban de verlo todo muy complicado, supongo que para realzar su
propio ego…
La idea es la siguiente: imaginemos un interruptor de la luz
con encendido/apagado (o un circuito eléctrico con on/off, para los
informáticos). Supongamos que le damos el valor “1” a la posición de encendido
y el valor “0” a la de apagado. Entonces, si le damos dos veces al interruptor
tenemos la secuencia `apagado -> encendido -> apagado´ por lo que
volvemos a la posición cuyo valor es “0”. Vaya por Dios, hemos demostrado que
2 = 0 (aquí, los futuros ingenieros informáticos estaban con la boca abierta).
Por tanto, si tomamos el conjunto de los números enteros llamado Z y la operación
“suma”, tenemos en este caso particular, que 2 + 2 = 0. ¿Y qué pasa con 2 + 1? Pues
que, por el razonamiento anterior, como 2 = 0, si volvemos a encender la luz, se
queda encendida por lo que 2 + 1 = 3 = 1. Cualquier suma que hagamos se convertirá,
de esta manera, en lo que los matemáticos denominamos `la clase del 0´ ó `la
clase del 1´. Hemos conseguido entonces restringir el conjunto Z a un subgrupo
llamado Z2 (leído Z sub 2) que, junto a la operación suma, forma un grupo que
se escribe (Z2,+). Nota: con la operación `producto´ no se obtiene un grupo
porque fallan algunas propiedades de los grupos. Hemos probado que cualquier
múltiplo de 2 se convierte en 0 y cualquier número impar se convierte en 1. Más
técnicamente, lo que se hace es quedarnos con el resto de la división entre un
número par, por ejemplo, si dividimos 15 entre 2, el algoritmo de la división
(aprendido con 4 ó 5 años en la escuela básica, que conste) es 15 = 7x2 + 1. Así,
7x2 = 14 es par, lo descartamos y nos quedamos con el resto de la división, 1, por
lo que 15 en Z2 toma el valor 1. Es fácil, ¿verdad?
Así tenemos que Z2 = {0,1}. Podemos construir, evidentemente,
Z3 = {0,1,2}, Z4 = {0,1,2,3},… Zn = {0,1,2,3,… (n-1)}. Estos Zn, Z sub n, tienen unas
propiedades muy interesantes, en las que no voy a entrar, cuando `n´ es un
número primo, esto es, un número que solo es divisible por él mismo o por la
unidad (2, 3, 5, 7, 11,..) porque se convierten en lo que se llaman “cuerpos”,
es decir, Zn con n = primo es un cuerpo, y no el de Giselle Bundchen.
Algo que nos domina en nuestras vidas casi tanto como el
número Pi es Z12: el día tiene 24 horas pero las 24h = 12 de la noche, son las 0
horas del día siguiente, por tanto 24 = 0 y así las 15 horas se convierten en las
3 de la tarde (el resto de dividir 15 entre 12 porque 15 = 12X1 + 3) y las 21
horas son las 9 de la noche (el resto de dividir 21 entre 12 porque 21 = 12x1 +
9). Así pues, nuestros relojes y nuestra vida está encapsulada en el grupo
(Z12,+). Podemos extrapolar estos sencillos razonamientos a los 7 días de la semana, los 30 del mes, los 365 del año, e ir construyendo los correspondientes Zn.
Bien, espero no haber aburrido y haber despertado la curiosidad
como conseguí con aquellos alumnos. Si ellos lograron entenderlo, cualquiera lo
entenderá.
