Sistemas de Numeración

   La comunicación se basa, fundamentalmente, en el qué y en el cuánto, entendiendo por el qué los sustantivos que una persona o grupo de personas quieren exponer, explicar o comunicar a otra u otras personas, y entendiendo por el cuánto a la cantidad de esos sustantivos, todo ello ya sea de forma oral o escrita. Así pues, fijándonos en el cuánto (cuánta, cuántos, cuántas), cada cultura ha desarrollado, desde sus inicios, su propio sistema de numeración independiente de los de otros pueblos o culturas, lógicamente, por la distancia física entre ellos y la diferencia de desarrollo básica.

  Expongo en esta entrada y de forma breve, algunos sistemas de numeración antiguos, los que considero más importantes aunque seguro que ha habido otros muchos a lo largo de la historia de la humanidad, y comienzo por el que más me agrada, el cual trato en la entrada de su propio nombre que ya hice hace algún tiempo:

-Sistema vigesimal Maya: En el enlace Sistema Vigesimal: La Fascinante Numeración Maya

-Sistema vigesimal Azteca: Los aztecas desarrollaron un sistema de numeración propia. El sistema numérico empleado era de base vigesimal, es decir, contaban de 20 en 20 y los números del 1 al 19 se representaban con puntos o dedos. Utilizaban así cantidades hasta 20 sirviéndose del número preciso de puntos, a pesar de que en las matemáticas de la actual América Central se simplificaba el proceso recurriendo a las barras para representar series de 5 (representado éste por una mano). Los aztecas se servían de una bandera para indicar 20, que iban repitiendo hasta llegar al 400, que se representaba con una pluma. También utilizaban la figura de un abeto (puede entenderse como "tan numerosos como los cabellos") para representar 400 (20 x 20). Cuando pretendían indicar 8.000 (20 x 20 x 20) recurrían a una bolsa o costal, que venía  a significar "resulta tan incalculable como los granos de cacao que caben en el mismo".

  En un manuscrito encontrado después de la llegada de los conquistadores españoles, se puede ver cómo resolvían los aztecas las fracciones. Para ello se limitaban a oscurecer segmentos de la cuarta parte, la mitad o las tres cuartas partes de un disco. De una forma similar se representaba el 5 (también los múltiplos del mismo), pero coloreando unos espacios definidos de la bandera del signo 20, y los centenares añadiendo líneas uniformes al símbolo de 400.

  Obtenían así diferentes cifras agrupando o combinando puntos, rayas, banderas y bolsas.

  Existían dos tipos de calendarios:  uno ritual y otro solar. El calendario ritual o religioso era utilizado por los sacerdotes y tenía 260 días y el calendario solar estaba dividido en 18 meses de 20 días cada uno. Abarcaba 360 días, más 5 días sagrados en los que no se podía hacer nada. El destino de los hombres estaba rigurosamente señalado en estos calendarios.

-Sistema Arábigo: Los números arábigos, también llamados números indoarábigos, son los símbolos más utilizados para representar números. Se les llama arábigos porque los hispano-árabes de Al-Andalus los introdujeron en Europa a través de su acción cultural, aunque, en realidad, su invención surgió en la India. El mundo le debe a la cultura india el invento trascendental del sistema de numeración posicional, así como el descubrimiento del 0 (cero), llamado śūnya (shuunia) o bindu en lengua sánscrita, aunque los mayas también conocieron tanto el 0 como la numeración posicional, como se describe en la entrada referida a la numeración vigesimal Maya.
   El sistema arábigo se ha representado (y se representa) utilizando muchos conjuntos de elementos diferentes. Estos elementos pueden dividirse en dos grandes familias: los numerales arábigos occidentales y los orientales. Los orientales se desarrollaron en lo que actualmente corresponde a Irak. El Arábigo-Índico oriental así denominado, es una variedad de los elementos arábigo-índicos. Los numerales arábigos occidentales, desarrollados en Al-Andalus y el norte de África se denominan Números arábigos modernos.

  El sistema de numeración arábigo se considera uno de los avances más significativos de las matemáticas.

  Los números arábigos reemplazaron a la numeración cirílica en Rusia alrededor de a comienzos del siglo XVIII.

  Curiosamente, en el mundo musulmán solamente los matemáticos utilizaban el sistema de numeración arábigo hasta tiempos relativamente recientes. Los científicos usaban el sistema mesopotámico y los comerciantes los sistemas griego y hebreo, que se describen a continuación.

-Sistema Mesopotámico: El sistema de numeración mesopotámico (también llamado numeración babilónica) es un sistema de representación de los números en la escritura cuneiforme de varios pueblos de Mesopotamia. Este sistema apareció por primera vez alrededor de 1900-1800  a. C. También se acredita como el primer sistema de numeración posicional, es decir, en el cual el valor de un dígito particular depende tanto de su valor como de su posición en el número que se quiere representar. Esto era un desarrollo muy importante, porque, antes del sistema lugar-valor los técnicos estaban obligados a utilizar símbolos únicos para representar cada potencia de una base (diez, cien, mil, y así sucesivamente), llegando a ser incluso los cálculos más básicos poco manejables.
  Aunque su sistema tenía claramente un sistema decimal interno prefirieron utilizar 60 como la tercera unidad más pequeña en vez de 100 como lo hacemos hoy, más apropiadamente se considera un sistema mixto de las bases 10 y 60. Un valor grande al tener como base 60 es el número da como resultado un guarismo más pequeño y que además se puede dividir sin resto por 2, 3, 4, 5, 6, y por tanto también 10, 15, 20 y 30. Solamente dos símbolos usados en una variedad de combinaciones eran utilizados para denotar los 59 números. Se usaba un espacio  para indicar un cero (siglo III a. C.), aunque idearon más adelante una muestra de representar un lugar vacío.
  La teoría más comúnmente adoptada es que el 60, un número compuesto de muchos factores (los números anterior y siguiente de la serie serían el 12 y el 120), fue elegido como base debido a su factorización 2×2×3×5, que lo hace divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, y 30. De hecho, es el entero más pequeño divisible por todos los enteros del 1 al 6.
  Los enteros y las fracciones eran representados de la misma forma: el punto separador de enteros y fracciones no era escrito, sino que quedaba aclarado por el contexto.
Como ejemplo, el número 53 en numeración babilónica se representaba utilizando cinco veces el símbolo correspondiente a 10, y 3 veces el símbolo correspondiente a 1, o solamente el 50 y el 3.

-Sistema Hebreo: Es un sistema alfabético casi decimal en el que se utilizan las letras del alfabeto hebreo. No hay notación para el 0 y los valores numéricos de cada letra individual se suman conjuntamente. Cada unidad (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) se asigna con una letra separada, cada decena (10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90) y cada centena (100, 200, 300, 400) se asignan, igualmente, con letras separadas. La numerología judía generalmente hace un extenso uso de este sistema de numeración, aunque su utilización prácticamente exclusiva en la actualidad ha sido facilitar el estudio de los textos del judaísmo, la Torá o el Talmud.

-Sistema Cirílico: El sistema de numeración cirílica fue derivado del alfabeto cirílico, usado por los pueblos eslavos del sur y este de Europa. El sistema fue usado en Rusia hasta el siglo XVIII, cuando fue reemplazado por el sistema de numeración arábigo. Es un sistema aditivo que no es posicional basado en la numeración griega y se escribía con los correspondientes símbolos del alfabeto cirílico. Cada letra estaba asignada a una unidad (1, 2… 9), a un múltiplo de diez (10, 20… 90) y a un múltiplo de cien (100, 200… 900). Los números se escribían tal y como se pronunciaban, normalmente de izquierda a derecha, con la excepción de los números del 11 al 19. Estos números se pronunciaban y escribían de derecha a izquierda. Por ejemplo, el 17 se pronuncia sem-nad-zat ('siete-más de-diez'), en contraste con el número en español "diecisiete" o "diez y siete"). Para poder convertir números cirílicos a arábigos era necesario sumar todas las cifras de que se componía el número.
  Debido a que los símbolos del alfabeto y los símbolos numéricos cirílicos son idénticos, para distinguir unos de otros, los números se escribían con un título encima; aunque el "título" no era precisamente un signo diacrítico, se usaba como tal en este caso. Así mismo, si el número era mayor de 1000, se escribía el signo de los millares antes del número, y era necesario escribir el signo de millar con la respectiva letra de las unidades.

-Sistema Egipcio: El sistema de numeración egipcio permitía representar números  desde el 1 hasta millones, desde el inicio del uso de la escritura de jeroglíficos. A principios del tercer milenio a.C. los egipcios disponían del primer sistema decimal desarrollado (numeración de base 10). Aunque no era un sistema posicional, permitía el uso de grandes números y también podía describir pequeñas cantidades en forma de fracciones unitarias: las fracciones del "Ojo de Horus". Las cantidades se representaban de una forma muy larga. Éste es uno de los sistemas de numeración más antiguos. Se podían representar los números con cifras o palabras (fonéticamente): como "30" o "treinta". Sin embargo, no era muy común representarlos mediante sus nombres, con la excepción del 1 y el 2. Los demás valores se expresaban con la repetición del símbolo el número de veces que fuera necesario.

En  la dinastía XIII existía un símbolo para el 0: el término nfr, según Lumpkin.

   Para escribir un número ordinal, los egipcios utilizaron tres formas diferentes:

Indicaban el número ordinal "primero" mediante el jeroglífico tpy. Para escribir los ordinales desde "segundo" a "noveno" usaban los números cardinales añadiendo el sufijo nu y los ordinales desde el "décimo" en adelante se indicaban mediante el participio del verbo llenar: mht.
  En contra de lo que pueda parecer, la escritura jeroglífica de los números apenas fue empleada en la vida diaria. La mayor parte de los textos administrativos y contables estaban escritos en papiro o en ostraca en vez de grabarse en piedra y eran textos de numerales escritos en hierático. La llamada notación hierática emplea un sistema numérico diferente, utilizando signos para los números del 1 al 9, para decenas (múltiplos de diez, del 10 al 90), centenas (del 100 al 900) y millares (del 1000 al 9000). Un número grande, como 9999, se podría escribir empleando este sistema con solo cuatro signos, combinando los signos de 9000, 900, 90 y 9, en vez de usar los 36 jeroglíficos.

Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso. Al ser indiferente el orden, se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas, etc.) cuyo número indicaban.

  Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas.

En las operaciones elementales con números egipcios, para puntear los signos menos (-) y más (+) se usaban los jeroglíficos. Si los pies estaban orientados en dirección de la escritura significaba (+)  y al contrario (-).

  Los números racionales también podían ser expresados, pero solo como sumas de fracciones unitarias, con la unidad por numerador, excepto para 2/3 y 3/4. El indicativo de fracción es representado por el jeroglífico de la "boca" (j), y significa "parte". Había signos especiales para 1/2, para 2/3 (de uso frecuente) y 3/4 (de uso menos frecuente).  Si el denominador era muy grande y el signo de la "boca" no cabía encima, se situaba justo encima del comienzo del denominador . Aparte de 2/3 y 3/4 los egipcios no conocían fracciones con numerador distinto a 1. Por ejemplo, la fracción 3/5 se representaba como 1/2 + 1/10 y así ocurría con todas las fracciones como suma de fracciones con la unidad como numerador. 

Hasta aquí una pincelada de algunos sistemas de numeración antiguos y muy interesantes, cada uno con sus ventajas e inconvenientes pero todos válidos, tal como demuestra la vital ayuda que supusieron para desarrollar los pueblos y culturas de los que formaban parte esencial.