Pincelada Sobre Números Algebraicos y Trascendentes

    Voy a explicar brevemente en esta entrada la diferencia entre los números algebraicos y los números trascendentes que suponen la gran división de los números complejos.

Un número se dice algebraico si es un número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de la forma a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x¹ + a₀ = 0,  donde n > 0 , cada a_i es entero y a_n es distinto de cero. Así, todos los números racionales son algebraicos porque todas las fracciones de la forma a / b es solución de bx - a = 0. Algunos números irracionales, como la raíz cuadrada de 2 ó
la mitad de la raíz cúbica de 3, también son algebraicos porque son soluciones de x² - 2 = 0 y 8x³ - 3 = 0, respectivamente. Pero no todos los números reales son algebraicos. Los ejemplos más conocidos son el número "Pi" y el número "e". Si un número complejo no es algebraico, se dice que es un número trascendente. Probar que tanto "Pi" como "e" son trascendentes (esto es, no son solución de ninguna ecuación) no es fácil y no lo haré aquí pero merece la pena nombrarlo.

  
   Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, pero no puede serlo de una ecuación polinómica de grado menor, entonces se dice que es un número algebraico de grado n.

   

 La suma, diferencia, producto o cociente de dos números algebraicos vuelve a ser algebraico, y por lo tanto los números algebraicos constituyen un Cuerpo. Puede demostrarse que si los coeficientes a_i son números algebraicos cualesquiera, la solución de la ecuación volverá a ser un número algebraico, lo cual significa que dicho cuerpo es algebraicamente cerrado (las raíces de sus polinomios están en él). De hecho, es el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene a los racionales.

Todos los números que pueden escribirse a partir de los racionales empleando solamente las operaciones aritméticas +, -, *, /, potencias y raíces son algebraicos. Sin embargo, existen números algebraicos que no pueden escribirse de esta forma, y son todos de grado >5. Ésta es una consecuencia de la Teoría de Galois (ver entrada La Insolubilidad de la Quíntica). 
    Un número algebraico que satisface una ecuación polinómica de grado n con el coeficiente del término líder unitario, se denomina entero algebraico. La suma, diferencia y producto de enteros algebraicos vuelve a ser un entero algebraico, lo que significa que los enteros algebraicos forman un anillo. El nombre de entero algebraico proviene del hecho de que los únicos números racionales que son enteros algebraicos son los propios enteros.
   Una propiedad importante es que si tenemos dos cuerpos de forma que el segundo es una extensión del primero, se dice que todo elemento del segundo cuerpo, es algebraico sobre el primero si existe un polinomio perteneciente al anillo de polinomios con coeficientes en el primer cuerpo, del que es raíz, esto es, anula a dicho polinomio.

   Con todo ello, el conjunto de los números algebráicos es numerable, mientras que el conjunto de los números reales sabemos que es no-numerable (es decir, no existe una biyección entre el conjunto de los números naturales y el de los reales);  se deduce pues, que el conjunto de los números transcendentes es no-numerable, por lo que hay muchos más números transcendentes que algebraicos, curioso, ¿verdad?. Sin embargo, existen muy pocos números transcendentes conocidos, y demostrar que un número es transcendente puede ser extremadamente difícil. Como ejemplo, citar que todavía no se sabe si la constante de Euler-Mascheroni lo es, siendo su valor aproximado 0.577215..., y ni siquiera se sabe si es irracional o no, siendo una constate extremadamente importante. Se pueden ver ésta y otras constantes importantes en las entradas Números Excepcionales I y Números Excepcionales II.

Por citar algunos ejemplos, los números transcendentes más conocidos son:

- Números "Pi" y "e" (nota: el hecho de la imposibilidad de la cuadratura del círculo radica en que "Pi" es trascendente).

- a^b donde a no es 0 ni 1 siendo algebraico y b algebraico pero irracional. El caso general se conoce como Séptimo problema de Hilbert de los 23 propuestos (el resultado se conoce como Teorema de Gelfond).

- Sin(1).

-  ln(a) (logaritmo neperiano de "a") si a es positivo, racional y distinto de 1.

- La función Gamma de 1/3. 

   Hasta aquí unas pinceladas sobre este tipo de números que surgen de preguntas tan naturales como pueden ser: ¿cómo son las soluciones de las ecuaciones? o, ¿existen números que no son soluciones de alguna ecuación?, si existen, ¿hay muchos?, ¿cuáles son sus características?... La duda crea conocimiento.