Las matemáticas
recreativas son, básicamente, juegos de lógica, cálculo, figuras o incluso
lingüísticos, con alguna dificultad, en
los que haya que aplicar algún tipo de estrategia para resolverlos o concluir
con alguna solución o soluciones. Pueden ser tan conocidos como el sudoku (se
usan números), el tres en raya (se usan figuras), el origami (se usa una simple
hoja de papel), o el cubo de Rubik. Pueden también ser tan sencillos como crear
figuras a partir de otras (ideal para que los niños se familiaricen con los
triángulos, cubos, pentágonos,...) o realizar ciertas operaciones matemáticas
sencillas con ciertas reglas para inferir algunos resultados (ideal para el
cálculo mental sencillo y la capacidad de abstracción).
O bien, pueden ser
tan complejos como el ajedrez (bien estudiado en Teoría de Juegos), el Cram o
el fantástico "juego de los filósofos" (personalmente, he intentado
jugarlo pero no he podido por su enorme complejidad). Sin mencionar el ajedrez
a cuatro o el ajedrez 3D, e idem para el juego de los filósofos, que añaden más
complejidad aún.
Me centro brevemente
en estos 3 juegos porque no han sido resueltos en su totalidad, es decir, no se
sabe cuál es, dada una posición cualquiera, la estrategia óptima que conduce a
la victoria. Esto se debe a que la llamada "matriz de pagos" correspondiente
al ajedrez y al juego de los filósofos es tan grande que no se puede
diagonalizar ni con la potencia de los procesadores actuales. No entraré en lo
que son estos conceptos por ser complicados y abstractos pero se refieren a la
Teoría de Juegos, mencionada anteriormente. En el caso del Cram, la dificultad
radica en la construcción de la base del juego, el tablero en sí. Son juegos de solo dos jugadores o rivales y
se juega por turnos alternos sin posibilidad de no jugar (saltar un turno). Estos
3 juegos son denominados "de suma cero", es decir, lo que un jugador
gana lo pierde el otro y, de los 3, en el Cram y en el ajedrez existe el empate
(un jugador pierde/gana la mitad de la puntuación, al igual que su oponente).
El Cram y el ajedrez son simétricos pero el juego de los filósofos no.
El Cram tiene como
base un tablero de n x m casillas, en
las que se van colocando figuras de 2 x 1
de un color cada jugador, por turnos alternos, de forma vertical u horizontal
sobre casillas libres hasta que gana el jugador que consigue poner una figura
en el tablero de forma que no se pueda poner otra. Reglas muy sencillas para un
juego matemático recreativo muy sencillo, ¿verdad? No tan sencillo...
A diferencia del
ajedrez o el juego de los filósofos en los que, incluso antes de comenzar a
jugar, ya hay una elevada (o elevadísima) complejidad, el Cram puede comenzar
con un tablero de 2 x 2 en el que,
obviamente, gana el jugador que no comienza el juego, ya que el primer jugador
ocupa casillas 2 x1 ó 1 x 2 (figura colocada de forma
horizontal o vertical, respectivamente), con lo que el segundo jugador solo
puede ocupar las casillas 2 x 1 ó 1 x 2 respectivamente, completando el
tablero y ganando. Este era el caso más
simple. La estrategia ganadora es muy sencilla en tableros de
casillas formadas por números par × par y par × impar. En el caso de un tablero par
x par el segundo jugador gana realizando
la jugada simétrica del primero, es decir, ante cualquier jugada que hace el
primer jugador, el segundo jugador tiene una jugada que corresponde de manera simétrica
al otro lado del eje horizontal y del eje vertical (el segundo jugador traspone las jugadas del
primer jugador). Si el segundo jugador es quien dirige esta estrategia, el
segundo jugador siempre va a hacer la última jugada completando así el tablero y
ganando el juego. En el caso de un tablero par × impar, el primer jugador
gana también por jugada simétrica. El primer jugador pone la primera figura en
las dos casillas centrales del tablero y el segundo jugador puede hacer
cualquiera jugada, respondiendo el primer jugador con una jugada simétrica, lo
que asegura la victoria para el primer jugador.
Se pueden ir viendo
las estrategias sobre tableros reales en los casos de 3 x3, 5 x 5 y en los
casos de tableros de la forma 1 x n. Según
sea el número n, se puede dar la
solución en algunos casos donde n es impar, pero, y aquí está la
respuesta a la pregunta anterior de juego matemático recreativo muy sencillo,
en el caso general para tableros con casillas impar × impar,
todavía no se ha resuelto.
Este último párrafo
no voy a explicarlo por su complejidad y entiendo la frustración del
lector/lectora de esta entrada, si ha llegado hasta aquí. Probar lo expuesto en
esas 5 líneas requiere conocimientos de Teoría de Juegos y Teoría de Juegos
Combinatorios, que escapan a este blog. Es fundamental entender el Teorema de
Sprague-Grundy y sus consecuencias para comprender que hasta en lo más
sencillo, a priori, como es el Cram, se encierra una enorme complejidad. Invito
a leer al autor Conway (y otros, por supuesto) para indagar en las razones del
párrafo precedente y así poder comprender un juego tan sencillo en apariencia.
Hasta aquí un breve acercamiento a 3 juegos matemáticos
recreativos no muy conocidos, salvo el ajedrez, que invitan a razonar y
abstraerse de la cotidianeidad del mundo en el que vivimos.
