La clave principal de la demostración de este teorema, la cual es larga y técnica salvo si se usan las teorías de homología y homotopía, es el siguiente resultado que, si se dibuja, hasta un niño de corta edad lo puede entender sin dificultades. El enunciado riguroso es el siguiente:
"Sea X = [a,b] x [c,d] y sean g, h : [-1,1] -> X aplicaciones continuas. Sean p1 : X -> [a,b] y p2 : X-> [c,d] las proyecciones a los factores y supongamos que p1(g(-1)) = a, p1(g(1)) = b, p2(h(-1)) = c, p2(h(1)) = d. Entonces g([-1,1]) y h([-1,1]) tienen elementos en común {*}, al menos uno (es decir, su intersección es no vacía)." Intuitivamente es claro: en un rectángulo del plano, toda línea que va desde el borde superior hasta el borde inferior de forma continua, siempre corta a toda línea continua que va desde el borde izquierdo al borde derecho. Se puede ilustrar con el siguiente "sencillo" dibujo:
Así visto, parece muy sencillo probar pero esta simplicidad geométrica requiere complejidad analítica y algunos conocimientos avanzados. pongámosla en la pantalla:
Supongamos, por el contrario, que g([-1,1]) y h([-1,1]) no tienen elementos en común, esto es, que su intersección es vacía. Se define N(s,t) = Sup{|p1(g(s)) - p1(h(t))|, |p2(g(s)) - p2(h(t))|}, para todos s y t en [-1,1]. N(s,t) no es cero para todos s y t en [-1,1] porque si para algún punto (s,t) de [-1,1] x [-1,1], fuera N(s,t) = 0, como está definido como el supremo de dos cantidades positivas (por estar ambas en valor absoluto), entonces ambas han de ser cero, luego |p1(g(s)) - p1(h(t))| = |p2(g(s)) - p2(h(t))| = 0, y por tanto, g(s) = h(t), lo cual se está suponiendo que no ocurre. Hay que tener en cuenta que N es una función continua por ser el máximo de dos funciones continuas.
Se define F : [-1,1] x [-1,1] -> [-1,1] x [-1,1] como F(s,t) = ( [p1(h(t))-p1(g(s))]/N(s,t) , [p2(g(s))-p2(h(t))]/N(s,t) ), para todos s y t en el intervalo [-1,1]. La función F así definida es continua por ser cada componente cocientes de funciones continuas y, por la construcción de N, una de las componentes de F vale +1 ó -1, es decir, F([-1,1] x [-1,1]) está incluido en el conjunto Frontera del producto cartesiano de los intervalos, es decir, incluido en Fr([-1,1] x [-1,1]).
Como [-1,1] x [-1,1] es homeomorfo a la bola cerrada de centro 0 y radio 1 y el homeomorfismo lleva Fr([-1,1] x [-1,1]) en S1, por el teorema del punto fijo de Brouwer (este es uno de los muchos teoremas de punto fijo), existe (s,t) en [-1,1] x [-1,1] tal que F(s,t) = (s,t), pero como F(s,t) está en Fr([-1,1] x [-1,1]), debe ser |s| =1 ó |t| = 1, es decir, 4 casos: s = 1, s = -1, t = 1, t = -1. Se hará a continuación uno de ellos y los demás son similares.
Si s = 1, F(1,t) = (1,t) por lo que 1 = [p1(h(t))-p1(g(1))]/N(1,t) = [p1(h(t))-b]/N(1,t), pero p1(h(t)) es menor o igual a b, luego la diferencia es negativa y así [p1(h(t))-b]/N(1,t) es menor o igual que 0, lo que es una contradicción. Análogamente se hacen los otros 3 casos, con lo que se llega a contradecir la hipótesis inicial, por lo que se cumple lo enunciado en {*}.
Un curioso y simple dibujo que entraña complejidad y técnica para niños y no tan niños.
