Nadie duda que Leonhard Euler es uno de los científicos más
grande de todos los tiempos, adelantado a su época y con una
curiosidad tan grande como su prodigiosa mente. Por citar un par de
aportaciones, fue el descubridor del grandioso número “e” o el
`creador´ de la fórmula más bonita de las matemáticas, la
Identidad de Euler: 
Traigo hoy aquí una contribución a un campo de la ciencia aplicada, en este caso, un método sencillo para aproximar la solución de una ecuación diferencial (¡tan solo sabiendo la definición de lo que es una ecuación diferencial!).
Con este mecanismo se puede hallar, en el segmento [x0, b], la solución aproximada de la ecuación y’ = f(x, y) con la condición inicial y(x0) = y0. Consiste en sustituir por una unión de segmentos rectos la curva integral buscada de la ecuación diferencial que pasa por el punto M0(x0, y0).
Se divide el segmento [x0, b] en n partes, no necesariamente iguales, por los puntos x0 < x1 < … < xn = b.
Se traza, por el punto inicial M0(x0, y0) de la curva integral, una recta M0M de coeficiente angular f(x0, y0) hasta el punto M1(x1, y1) de intersección con la recta x = x1. La ordenada del punto M1 se determina por la fórmula y1 = y0 + f(x0, y0) (x1 – x0).
Se traza, por el punto M1(x1, y1) una recta M1M2 de coeficiente angular f(x1, y1) hasta el punto M2(x2, y2) de intersección con la recta x = x2. La ordenada del punto M2 se determina por la fórmula y2 = y1 + f(x1, y1) (x2 – x1).
Siguiendo este proceso, se determina el punto M3(x3, y3) y sucesivos. Así pues, la ordenada del punto Mn(xn, yn) se determina por la fórmula yn = yn-1 + f(xn-1, yn-1) (xn – xn-1).
Los valores aproximados de la solución de la ecuación dada en los puntos x1, x2, … ,xn son y1, y2, … ,yn.
Haciendo la construcción gráfica se obtiene una “quebrada”, denominada precisamente quebrada de Euler, que representa aproximadamente la curva integral que pasa por el punto M0(x0, y0).
Para simplificar los cálculos, se suele dividir el segmento inicial [x0, b] en partes iguales y se recurre al paso h = xh – xh-1. La magnitud de esta h se denomina intervalo de variación del argumento.
Así, cumpliendo ciertas condiciones respecto a la función f(x, y) (revisar el Teorema de Picard-Lindelöf sobre existencia y unicidad de soluciones de EDO), para h → 0 la solución aproximada proporciona la solución exacta de la ecuación que satisface la condición inicial y(x0) = y0.
Por tanto, para aplicar este intuitivo método, basta proporcionar un intervalo cerrado y acotado en el que se quiera estudiar la solución, la ecuación diferencial que se quiere aproximar con su condición inicial y el número de partes en las que se quiere dividir el intervalo dado. Hay que tener en cuenta que la precisión del método de Euler no es alta pero, a veces, puede servir como una buena referencia para aplicar otros métodos más modernos y exactos aunque, estos últimos, sí requieren tener conocimientos sobre las ecuaciones diferenciales. Exhorto al lector a aplicarlo a algún ejemplo sencillo, se sorprenderá de la simpleza y eficacia del método del gran Euler.
