Tal y como comenté en la entrada Un "Sencillo" Dibujo , no siempre es fácilmente demostrable lo que parece tan evidente a la vista, ya que lo riguroso requiere conceptos profundos como se vió allí y se verá, con menos profundidad, aquí.
¿Una recta tiene curvatura?, ¿y un plano?, ¿y una esfera? El concepto de curvatura es interesante para las superficies (diferenciables) de 3 dimensiones, y esta vez traigo unos sencillos ejemplos sobre cómo calcular la curvatura de superficies tan cotidianas como las rectas, las superficies planas o las esferas, estas últimas tan interesantes y con tantas propiedades, todo ello sin entrar en abstracciones como Formas Fundamentales, parametrizaciones o tensores.
Aunque las
geodésicas son un parte fundamental de estos conceptos, tampoco voy
a entrar en explicaciones técnicas para no aburrir, se trata de
considerar cuestiones aparentemente sencillas, a priori, y muy
intuitivas como las planteadas al principio, pero haciendo una
entrada amena y fácil de leer. Así, de forma lógica aunque poco
matemática, es obvio que una recta en el espacio euclídeo (esto es,
lo que vemos) no se curva porque es “recta”, evidentemente, (bueno, en realidad sí se curva si se considera como una geodésica pero no voy a rizar el rizo) y un
plano tampoco se curva porque es una superficie recta plana, por
tanto, se les podría asignar un número a ese grado de curvatura, es
decir, se dice que tienen curvatura cero. La curvatura referida en
esta entrada es la curvatura gaussiana, ya que fue Gauss el que
profundizó en la temática de la geometría diferencial. Existen
pues, curvaturas positivas, negativas o nulas dependiendo de ciertas
cuestiones y formas en las que no entraré, repito, para no aburrir.
Simplemente, se debe saber que la curvatura de una superficie tiene
signo o puede ser nula. ¿Y la esfera? La esfera tiene una curvatura
que depende de su radio R y ésta es K = 1/R2.. La forma de
calcularla es parametrizarla y aplicar una serie de fórmulas que, repito, no haré para no embarrar esta entrada.
Un resultado con una importancia radical se debe a Gauss, claro, y es el llamado Teorema Egregium que dice que la curvatura gaussiana de una superficie es invariante bajo isometrías locales. Esto quiere decir que la curvatura de una superficie no depende de la forma en que ésta se encuentra en el espacio tridimensional. Este resultado tiene diversas aplicaciones, destacando la de cartografiar terrenos ya que una esfera como la Tierra no puede “aplastarse” o proyectarse sobre un plano (un mapa terrestre) sin distorsionar distancias, lo que técnicamente sería decir que no existe una isometría entre la esfera y el plano (hemos comentado que el plano tiene curvatura nula, como una recta, pero la esfera tiene siempre curvatura distinta de cero y el Teorema Egregium garantiza que la curvatura es un invariante).
Veamos el ejemplo de la recta, que tiene curvatura K = 0, el cual se puede extender al caso del plano:
- Una primera forma intuitiva sería considerar la recta como un círculo de radio infinito, es decir, abrimos un círculo y desplegamos sus extremos y como la curvatura de la esfera depende de su radio R, la cual es K = 1/R2, si el radio es infnito, se obtiene así que K = 0. Esta sería la idea intuitiva fácil de ver.
- La
forma más rigurosa es considerar una recta en el plano
y = ax +
b (fácilmente
extrapolable a la recta en el espacio pero así se facilitan los
cálculos y la visión del resultado buscado). La
fórmula de la curvatura es
Por tanto, haciendo cálculos, f '(x) = a; f ''(x) = 0; y así, K = 0 por tener el numerador nulo.
Esta sencilla demostración se puede ampliar al plano considerándolo como una infinidad de rectas paralelas, con lo que también tiene curvatura nula, sin entrar en detalles, tan solo viendo este experimento de forma lo más intuitiva posible. Espero haber aclarado esta "sencilla" cuestión.
