Cuando se trata de construir polígonos regulares con regla y compás en el plano euclídeo habitual, cabe preguntarse cuáles se pueden construir y cuáles no y si existe alguna regla que determine si es posible o no realizar esa construcción para cualquier número de lados que se pretenda. Y la respuesta es afirmativa. En la entrada Construcciones (No Construibles) con Regla y Compás , expuse algunos casos concretos y muy conocidos sobre este tipo de construcciones en el plano. No entraré, como es norma en este blog, en detalles y demostraciones que requieren conocimientos de álgebra abstracta que, aunque básica, quedan fuera del espíritu de estas entradas.
La pregunta clave es pues, ¿cuáles n-ágonos regulares es posible construir con regla y compás? Para ello, veamos que esa construcción está ligada matemáticamente a la posibilidad de que ciertos números reales sean construibles:
Supongamos que hay un solo segmento de recta que definiremos como de longitud una unidad. Así, diremos que un número real A es construible si se puede construir un segmento de recta de longitud las unidades que ocupa A, es decir, su módulo |A|, en un número finito de pasos a partir del segmento dado de longitud unitaria, usando solamente regla y compás.
Es fácil ver que si A y B son dos números construibles, entonces también lo son su resta, su suma, su producto y su división (siempre que el denominador no sea nulo). Estas operaciones nos dan la estructura de subcuerpo, de tal modo que se puede afirmar que el conjunto de los números reales que son construibles, llamémosle F, es un subcuerpo del cuerpo de los números reales. Como es sabido (no lo vamos a ver aquí), el cuerpo ℚ de los números racionales es el menor subcuerpo del cuerpo ℝ de los números reales, por lo que F contiene a ℚ. Este “F” así formado, consta, justo, de todos los números reales que se pueden obtener de ℚ tomando raíces cuadradas (los números de ℝ que “le faltan” a ℚ) de números (positivos, obviamente) un número finito de veces y aplicando un número finito de operaciones suma, resta, división y multiplicación.
Además, si un número A > 0 es construible, entonces es fácil probar que su raíz cuadrada, A también lo es.
La imposibilidad de trisecar el ángulo es otra de las construcciones no construibles con regla y compás, es decir, existe algún ángulo que no se puede trisecar con regla y compás. Es evidente que al hablar de ángulos hay que hablar de razones trigonométricas y nos interesa, en este caso, el coseno del ángulo, puesto que un ángulo α se puede construir sí y sólo sí se puede construir un segmento de longitud |cos α| (es sabido que el coseno de un ángulo nos proporciona la longitud en la horizontal mientras que el seno del ángulo nos da la altura).
De aquí se puede obtener (no lo veremos aquí) que un n-ágono regular es construible para n ≥ 3, sí y sólo sí el ángulo 2π / n es construible, esto es, si es construible |cos (2π / n)|.
Retomemos la cuestión inicial de esta entrada. Sea ahora la raíz n-ésima primitiva ξ = cos (2π / n) + i sen (2π / n). Su inverso resulta, sin más que aplicar unos sencillos cálculos para números complejos, 1 / ξ = cos (2π / n) - i sen (2π / n). Su suma vale ξ + 1 / ξ = 2 cos (2π / n).
Aquí,
por desgracia, se complican los razonamientos que requieren
extensiones de cuerpos y otras extructuras matemáticas en las cuales no entraré, pero la conclusión
es que “los
únicos n-ágonos
regulares que pueden construirse con regla y compás son aquellos en
que los primos que dividen n
son primos
de Fermat
cuyo cuadrado no divide a n”.
Gauss fue el que probó esta afirmación. Destacar que los números primos de Fermat, muy importantes en términos algebráicos, son de la forma 2t
+1, con
t
= 2k.
Fermat
conjeturó que estos números eran primos para todos los enteros k
> 0 aunque, hasta la fecha de escribir esta entrada, tan solo se conocen 5, que son: 3, 5, 17, 257, 65537, que equivalen a k = 0, 1, 2, 3, 4. Euler demostró que para k = 5, el número que se obtiene no es un primo de Fermat.
Como ejemplos, se puede ver que el 7-ágono regular no es construible con regla y compás puesto que 7 no es un primo de Fermat. También se puede ver que el 18-ágono regular no es construible ya que, aunque 3 es un primo de Fermat, su cuadrado 32 = 9 divide a 18. El 60-ágono regular es construible ya que 60 = (22)(3)(5) y 3 y 5 son ambos primos de Fermat.
Apartando intencionadamente las cuestiones técnicas, esta entrada queda completada ofreciendo un método para poder construir al estilo clásico con regla y compás, los polígonos regulares que cumplan los requisitos.
