En la entrada “una ecuación diferencial importante” comenté el método de datación por Carbono-14, que es el método más habitual para estimar la fecha de estructuras geológicas o arquitectónicas. Ahora trataré, brevemente, la desintegración radiactiva, que también hace uso de una ecuación diferencial.
Supongamos que en un accidente nuclear grave como el de Chernobyl o Fukushima, o una explosión nuclear, se liberan 10 gramos de Pu-239, un isótopo del Plutonio. Podría surgir la siguiente duda: ¿cuánto tiempo hará falta para que sólo quede 1 gramo en la naturaleza o una cantidad x?
Sea y la masa del Plutonio en gramos. Se sabe que el ritmo de desintegración sigue la ecuación diferencial de variables separadas y´ = ky dy /dx = ky cuya solución es y = cekt, sin más que integrar de forma directa, con t en años.
Como en el instante inicial se liberan 10 gramos, es decir, t = 0 y = 10 (condiciones iniciales) 10 = cek 0 10 = ce0 c = 10.
Se sabe que el periodo de semidesintegración del isótopo Pu-239 (esto es, para y = 5, puesto que semidesintegración equivale a la mitad) es de 24360 años. [Nota: el periodo de semidesintegración del isótopo de Uranio U-238, es de 4468000000 años, ahí queda el dato]. Tenemos así, 5 = 10e24360k (resolviendo la sencilla ecuación exponencial tomando logaritmos en ambos miembros y despejando) k (aproximado) 0,0000284 por lo que y 10 e -0,0000284 t.
La ecuación diferencial anterior es la herramienta para saber cuánto quedará en la naturaleza de una cantidad x en gramos de un residuo radiactivo del Plutonio. En nuestro caso particular, basta sustituir y = 1, la cantidad pedida, y calcular el tiempo t en años, es decir, resolver 1 = 10 e -0,0000284 t:
Ln(1/10) = Ln(e -0,0000284 t) t = -Ln(0,1) / 0,0000284 = 80923,072 años 80923 años.
Con este sencillo ejemplo se pone de manifiesto la importancia de conocer el mecanismo de desintegración de las sustancias radiactivas de forma natural, para poder así evaluar el tiempo que permanecen éstas expuestas en la naturaleza, como en el caso de los accidentes nucleares, o para conocer los tiempos de almacenamiento de los combustibles radiactivos usados en las centrales nucleares y saber, por tanto, cuándo desciende su peligrosidad para los seres vivos.
