Una cuestión interesante que se puede plantear al considerar el típico problema de mecánica de cuerpos que caen por un plano inclinado es el que planteo esta vez, saliendo un poco de los estudios clásicos de estas situaciones que involucran el cálculo de fuerzas o el uso de poleas que tienen en cuenta la inclinación del plano considerado, que son típicos de la enseñanza secundaria. El problema que aquí propongo lo he localizado en uno de mis antiguos libros de física de instituto (más antiguo que los de mis años de estudiante adolescente), uno de esos libros con enunciados pero sin soluciones, tan solo una breve sugerencia de guía en cada problema. Buenos libros de mejores años. He aquí pues, el enunciado y mi solución.
Dos cuerpos de igual masa e igual forma descienden desde una misma altura por un plano inclinado. Uno de ellos rueda sin deslizar y el otro desliza sin rodar. ¿Cuál de los dos llega antes a la base del plano?
Supongamos una condición ideal de laboratorio, para facilitar los cálculos, es decir, que los cuerpos son de forma esférica perfecta, el plano no tiene irregularidades y el rozamiento de dichos cuerpos con el plano por el que discurren es despreciable.
1) En el caso del cuerpo que cae deslizando sin rodar, se cumple que su energía cinética EC es igual a su energía potencial EP , por lo que ha de suceder que ½ mv2 = mgh , donde, como es sabido, m es la masa, v es la velocidad, h es la altura inicial y g es la aceleración de la gravedad (en esta Entrada comenté algunas cosas interesantes sobre la gravedad en algunos objetos celestes del Sistema Solar). Se despeja la velocidad y, simplificando, queda v2 = 2gh.
2) El caso del cuerpo que cae rodando sin deslizar es parecido al anterior pero hay que tener en cuenta su energía cinética de rotación, Er , que involucra la velocidad angular w, por lo que se cumple que EP = EC + Er , es decir:
mgh = ½ mV2 + ½ I w2 = ½ mV2 + ½ I V2/r2 , donde I es el momento de inercia. Ahora solo queda realizar operaciones para despejar V2 para compararla con el valor anterior de v2:
De la expresión anterior, r2mgh = r2/2 mV2 + ½ V2 ⇒ r2mgh = ½ V2(mr2 + 1) de donde V2 = (2r2mgh) / (mr2 + 1) ⇒ V2 = 2gh (mr2) / (mr2 + 1).
La expresión de v2 y la de V2 difieren en el factor (mr2) / (mr2 + 1), que toma valores entre 0 y 1 ya que el denominador siempre es mayor que el numerador, sean cuales sean los valores de m y r (obviamente, ambos son positivos siempre) y la aceleración de la gravedad g es positiva (los cuerpos se deslizan o ruedan hacia abajo, según el caso) y h también es positiva puesto que los cuerpos parten de una cierta altura, por lo que no atañe ningún problema realizar las raíces cuadradas de v y V de las expresiones anteriores, al ser los segundos miembros de v2 y V2 valores positivos en las ecuaciones de ambos casos.
Teniendo
en cuenta lo anterior, es fácil deducir que v2
> V2 por lo que v
> V y así el tiempo que
tarda en descender el cuerpo que cae deslizando sin rodar es menor
que el tiempo que tarda en descender el cuerpo que rueda sin deslizar
y, en consecuencia, el cuerpo que desliza sin rodar llega antes a la
base del plano que el cuerpo que rueda sin deslizar. Hay que destacar que no ha influido la masa de los cuerpos ni la altura desde la que caen por el plano inclinado.
No se trataba de una cuestión tan evidente y de respuesta fácil y rápida como pudiera parecer en un principio lo que nos lleva a concluir que merece la pena el esfuerzo de razonar sobre lo que nos rodea y no tomar a la ligera hechos o situaciones cotidianas como la de esta entrada.
