Es evidente que las ecuaciones diferenciales están en todas las circunstancias y observaciones matemáticas ya que toda ecuación, a nivel práctico, que involucra a un parámetro que depende de otro u otros (concepto de función de una o varias variables), depende, a su vez, casi en su totalidad, de algunas variaciones de dicho parámetro o parámetros, que no es ni más ni menos que el concepto de derivada, es decir, la variación de una incógnita con respecto a otra u otras. De ésto saben mucho los físicos, que hacen auténticas barbaridades con las ecuaciones diferenciales y con las ecuaciones en derivadas parciales (que matemáticamente no se pueden hacer), pero ese es otro tema. Traigo esta vez una ecuación interesante a nivel práctico por su aplicación en algo que está y estará de moda como es el lanzamiento de un cohete o, en general, un objeto propulsado en vertical. El problema en sí lo leí con datos concretos, numerillos, pero he querido aquí resolverlo para el caso general para así tener una ecuación diferencial que se puede usar en cualquier circunstancia relacionada con esta temática. El problema es el que sigue.
Se lanza un cohete con masa inicial m0 de forma que la velocidad del chorro de gases expulsado y su cantidad son constantes y de valor “v ” con respecto al cohete. Si se considera la Tierra como sistema de referencia inercial, suponiendo que la trayectoria del cohete sea vertical con un valor de la aceleración debida a la gravedad constante y despreciando la resistencia del aire, calcular la velocidad “V ” del cohete respecto a la Tierra al cabo de un tiempo “t ”.
En el instante t, vamos a designar m a la masa del cohete y V a su velocidad. Al cabo de un tiempo dt (es sabido que, matemáticamente, la variación de un parámetro se identifica con su derivada, es decir, es el incremento, positivo o negativo, del parámetro), la masa y la velocidad del cohete habrán variado (aumentando o disminuyendo) y, así, su cantidad de movimiento o momento lineal, siendo esta variación designada por d (mV) hacia arriba, puesto que el cohete se encuentra ascendiendo. La cantidad de movimiento de los gases expulsados habrá variado según dm (v – V) y estos gases tienen sentido contrario al del ascenso del cohete, obviamente.
Teniendo en cuenta el principio de conservación de la cantidad de movimiento, se cumple la ecuación d (mV) + dm (v – V) = 0. Desarrollamos teniendo en cuenta que el primer sumando involucra a la derivada de un producto, por lo que Vdm + mdV + vdm – Vdm = 0 que simplificando nos queda mdV + vdm = 0 ⇒ dV = - vdm /m.
Esta última expresión es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de variables separadas que se resuelve fácilmente integrando en ambos miembros entre el instante inicial del lanzamiento y el instante t correspondiente a un tiempo indeterminado, teniendo en cuenta que el instante inicial corresponde a los valores t = 0; V = 0; m = m0 :
V = ∫-v dm/m entre los valores t0 y t, que es una integral inmediata, de donde V = -v (Ln m) entre los valores m0 y m, al cambiar los límites de integración, por tanto queda V = -v [ Ln m – Ln m0 ] = v [Ln m0 - Ln m], por lo que, V = v Ln (m0 / m) , aplicando una conocida propiedad de los logaritmos.
Este resultado generaliza lo obtenido en aquel ejercicio comentado al principio de esta entrada y sirve para cualesquiera valores a los que se les quiera aplicar.
