Después de la entrada Más Cuestiones Sobre la Velocidad de la Luz , quedó una pregunta más en el tintero que decidí separarla de las anteriores para no hacer aquella demasiado extensa. La traigo aquí como una aplicación interesante que da uso a una fórmula relativista (en oposición a la Física newtoniana) pero sin entrar en complicados conceptos teóricos, simplemente se utiliza una herramienta interesante, “sofisticada y refinada” con respecto la Física clásica, una herramienta jovencísima, con apenas un siglo de edad. Se plantea así la siguiente cuestión:
La masa de un cuerpo en movimiento es el doble que en reposo, ¿cuál es su velocidad? El método de resolución que sigue se puede aplicar para cualquier proporción de masas que las relacione en reposo o en movimiento, aunque con ciertos matices como se verá más adelante, con la simple acción de sustituir el valor correspondiente en la fórmula, teniendo en cuenta que el resultado final depende de la velocidad de la luz c, sin necesidad de sustituir su valor real.
La variación de la masa con la velocidad se relaciona con la fórmula m = m0 / (1 – v2/c2) , donde m0 es la masa del cuerpo en reposo, m es la masa del cuerpo en movimiento (denominada “masa relativista”), v es la velocidad relativa entre el cuerpo y el observador y c la velocidad de la luz. Aquí aparece el llamado “factor de Lorentz”, 1 / (1 – v2/c2) , que simplemente menciono sin entrar en más complicaciones referentes a la Teoría de la Relatividad Especial. Hay que resaltar que si el cuerpo se mueve a velocidades mucho más pequeñas que la velocidad de la luz, v2/c2 es muy próximo a cero, por lo que el denominador de la fórmula anterior, esto es, la raíz cuadrada, se aproxima mucho a 1, y así la masa en movimiento y la masa en reposo son casi iguales, con una diferencia inapreciable, que es lo que sucede en el macrocosmos.
Resulta así que, en el caso planteado, si m0 = 1 ⇒ m = 2 por lo que basta sustituir estos valores y obtenemos: 2 = 1 / (1 – v2/c2) , de donde, una vez simplificada esta ecuación, se concluye que c3 /2 = v ⇒ v = 0,866c.
De lo anterior se puede deducir el caso general, esto es, si la masa de un cuerpo en movimiento es `n ´ veces su masa en reposo, ¿cuál es su velocidad? Aunque hay que analizar con detalle ciertos aspectos, que ya comenté más arriba, como se verá a continuación y trataré de no dar una explicación tediosa del análisis:
Como en el caso particular que precede, el procedimiento de resolución es idéntico pero, en este caso, suponemos m0 = 1 ⇒ m = n y basta sustituir en la fórmula anterior, quedando así n = 1 / (1 – v2/c2). Ahora se despeja el valor de la velocidad en función de c como antes: v = c(n2 – 1) / n
Se estudia ahora el significado de esta fórmula para analizar los distintos valores involucrados:
Sea la masa inicial, m0 , cualquiera (obviamente m0 > 0), ¿qué valores puede tomar `n ´?
La fórmula anterior se convierte en v = c(n2 – m0) / n . Evidentemente, n > 0 para que no se anule el denominador. Veamos pues, en qué casos se verifica dicha ecuación: ha de suceder que el discriminante forme la inecuación n2 – m0 ≥ 0 :
- a) Si n2
– m0 = 0 ⇒
n2 = m0 ⇒
v =0, que no se puede dar puesto que el cuerpo se encuentra en
movimiento. Así, este caso no sirve.
- b) Si n2 – m0 > 0 ⇒ n2 > m0 ⇒ n > m0
- c) Si n = m0
⇒ v
= c[m0
(m0 – 1)] / m0
, con m0 > 1 : si m0
= 1 ⇒ v
= 0 que no puede suceder, y si 0 < m0
< 1 ⇒
[m0
(m0 – 1)] < 0 , que
no puede suceder, ya que la raíz cuadrada ha de ser positiva. Así, este caso tampoco sirve.
De lo anterior se concluye que los valores que dan sentido a la fórmula general son los del apartado b), es decir, la relación entre la masa inicial y la del cuerpo en movimiento es n > m0
Como ejemplo del caso general más sencillo, sea, de nuevo, m0 = 1, ¿qué valores de `n ´ son posibles para la cuestión que se estudia?
La fórmula es v
= c(n2
– 1) /n,
por lo que se
debe analizar el discriminante de la raíz, esto es, los valores de
n2
– 1
que ha de ser ≥
0 como es sabido:
- Si n2 – 1 = 0 ⇒ n2 = 1 ⇒ n = ± 1: Si n = 1 ⇒ v = 0 , que no puede suceder, y n = -1 se descarta puesto que la masa ha de ser positiva.
- Si n2 – 1 > 0 ⇒ n2 > 1 ⇒ n > 1, con el descarte del caso n > -1.
Como conclusión al caso general, se tiene que n ha de ser mayor que 1 y que n > m0
Se demuestra así que hice bien en separar en dos entradas las cuestiones referentes a la velocidad de la luz, para no entorpecer una lectura rápida y evitar caer en lo abrumador de una lectura larga con explicaciones un tanto técnicas, aunque el que escribe ha procurado reducirlas a lo mínimo, como viene siendo un pilar de este blog, para dotarlo de fluidez y facilidad de comprensión.
