Que Leonardo Da Vinci fue un adelantado a su tiempo y uno de los mayores genios de la historia queda fuera de toda duda. Pintor, escultor, arquitecto, diseñador, matemático, astrónomo, inventor, y un larguísimo etcétera. Sólo le faltó... vivir eternamente. Como Gauss en su campo, Mozart en su campo, Feynman en el suyo, todos héroes de la ciencia que hicieron que la humanidad avanzara hacia lo que somos hoy.
Traigo en esta entrada algunos de los estudios en los que fijó su mirada el gran Leonardo, concretamente en las transformaciones de algunas figuras planas que encierran algunas cuestiones importantes no tan evidentes a simple vista.
Una genialidad de Leonardo en este aspecto fue establecer igualdades de figuras aparentemente desiguales y estableció de una forma simple y elegante similitudes entre figuras de líneas rectas con figuras curvilíneas como, por ejemplo, muestra en sus dibujos de triángulos rectilíneos y las Falcate (así llamó a los triángulos con lados curvados), como se observa aquí abajo:
Si se "doblan" o curvan los lados del triángulo y se eliminan los lados rectilíneos originales, se obtiene un nuevo triángulo semejante al original de tal manera que el área del nuevo triángulo es igual a la del triángulo original, un concepto nada claro teniendo en cuenta que hallar las áreas de figuras rectilíneas son triviales de calcular en comparación con las áreas de figuras con formas curvas, en general.
En la siguiente figura subyace una idea que tardaría siglos en nacer: el cálculo integral. Se trata de una deformación gradual de un rectángulo. La idea es sencilla: los dos rectángulos tienen la misma área ya que al dividir el rectángulo original en capas o cintas paralelas y deslizando unas sobre otras, se conserva la figura original salvo en los laterales, razonamiento parecido al de los triángulos anteriores.
Se podría modelizar con una baraja de naipes, por ejemplo, deslizando las cartas entre sí. La igualdad de las áreas de ambas figuras se consigue si esas cintas o bandas fueran infinitas, que es la base del cálculo integral.
Leonardo experimentó con un resultado ya conocido en su época que afilaba la espada para tratar de atrapar a la gran cuestión esquiva de los antiguos: la cuadratura del círculo.
Este resultado geométrico conocido es la lúnula de Hipócrates de Quios, cuya figura muestro a continuación:
La lúnula es la figura encerrada entre los dos semicírculos e Hipócrates demostró en el siglo V Antes de Cristo que el área de la lúnula es igual a la del triángulo ABC. ¡Fascinante! Relaciona áreas fáciles con áreas que involucran el número Pi, gran idea para intentar cuadrar el círculo mediante áreas conocidas sin tener que lidiar con Satanás, el número Pi. Recordemos que cuadrar el círculo significaba, en su época, construir, con regla y compás, un cuadrado con la misma área que un círculo, es decir, transformar una figura curva en otra rectilínea. La figura de arriba sí puede conseguir este extremo pero el círculo completo no. Veamos unas indicaciones de la demostración de la afirmación anterior:
Cada cateto del triángulo ABC mide a, por tanto el área del triángulo es área = 2 a2 /2 = a2 . La hipotenusa es así h=a2−−−√
Los radios de los dos arcos se relacionan entre sí por el teorema de Pitágoras, 2 a2 = b2 . Hay que probar que el área de la lúnula es a2 pero esto se prueba restando al área del semicírculo el área del segmento circular blanco. Estos cálculos involucran al número Pi pero no se necesita saber su valor porque se cancela en las igualdades que aparecen, de ahí su sencillez. Sin entretenernos en cálculos largos pero muy sencillos se puede llegar al resultado buscado, es decir, a2 .
Y para acabar esta entrada, otra figura que Leonardo utilizó es la siguiente:
Aquí se observa un semicírculo con la mitad de un cuadrado inscrito en él de tal manera que, según se corte el cuadrado por la mitad o por una diagonal (izquierda y derecha del dibujo anterior) se tienen dos figuras con partes sombreadas aparentemente distintas pero que tienen la misma área ya que, el cuadrado inscrito en cada semicírculo es el mismo salvo que el de la derecha está rotado 90º. Así se ve un semicírculo con un rectángulo inscrito en él a la izquierda y un triángulo a la derecha. Como hemos quitado la mitad de cada cuadrado en ambas figuras, las partes blancas que quedan tienen la misma área por lo que las partes grises que quedan hasta completar los círculos han de coincidir en área aunque visualmente nuestro cerebro nos dice que no es así.
Esta figura (cuadrados inscritos en círculos) fascinó a Leonardo, el cual jugó con las Falcate y sus formas deleitándose en diseños intrincados rellenándolos y vaciándolos (literal de sus propios manuscritos, al intercalar zonas blancas y zonas sombreadas) transformando unas figuras en otras y creando proporciones como las explicadas más arriba.
Leonardo, ese genio de una época con una curiosidad infinita al que tanto debemos. Quién sabe lo que hubiera dado de sí este personaje si en su época hubiera existido la tecnología que existe hoy en día.
