Muchas propiedades matemáticas se expresan por la ausencia de algo. Dos ejemplos especialmente buenos son y que me atraen mucho son el concepto de infinito y la conexión:
Infinito: un conjunto es infinito si no es finito.
Conexo: un espacio topológico es conexo si no puede separarse en dos abiertos disjuntos no vacíos.
Estas dos definiciones, sobre todo la primera, son elegantes y escuetas pero encierran una capacidad de comprensión que incluso muchos compañeros de la carrera de Matemáticas jamás ni siquiera intuyeron ya que, el concepto de infinito requiere que seas capaz de dejar que te explote la cabeza y la conexión requiere saber trabajar con la negatividad para lograr resultados posibles y ciertos.
Otros ejemplos de definiciones matemáticas negativas los muestro a partir de aquí:
1. Número irracional
Un número real es irracional si no es racional X ∈ R - Q. Es decir, no puede escribirse como p / q, con p, q números enteros y q no nulo. ¡Cuánta sencillez y elegancia! De una definición tan bella emana un teorema muy importante: el Teorema de Densidad de Q en R.
2. Número trascendente
Un número complejo es trascendente si no es algebraico; es decir, si no es raíz de ningún polinomio no nulo con coeficientes racionales. Por ejemplo π y e son trascendentes. Ya comenté algunas características de estos números en otras entradas de este blog que se pueden buscar sin dificultad. Ésta es una definición negativa especialmente potente: no ser solución de ninguna ecuación polinómica racional.
3. Conjunto no acotado
Un subconjunto A⊆R es no acotado superiormente si no existe un número real que sea cota superior de todos sus elementos, esto es, ∀M∈R, ∃x∈A con x>M.
Por ejemplo, el conjunto de los números naturales N no está acotado superiormente ya, dado un número natural, siempre se puede encontrar otro número natural que sea más grande.
4. Función discontinua
Una función es discontinua en un punto si no es continua en ese punto. En esta definición el concepto “no continua” se convierte en la existencia de un contraejemplo:
∃ε>0 ∀δ>0 ∃x :∣x−a∣<δ y ∣f(x)−f(a)∣≥ε.
La negación de una definición puede producir una estructura lógica bastante más compleja, como en este caso.
5. No convergencia de una sucesión
Una sucesión (an) no converge a L si no se cumple ∃ε>0 ∀N ∃n≥N:∣an−L∣≥ε.
Es decir, por mucho que se avance en la sucesión de términos siempre aparecen términos que se mantienen a una distancia de L tan próximos o lejanos como se quiera.
6. Conjunto cerrado
Un conjunto F es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación. Con simbología se tiene F es cerrado ⟺ X∖F es abierto.
Por tanto, la propiedad de ser cerrado se define mediante la ausencia de ciertos puntos fuera del conjunto, o mediante una propiedad de su complemento.
7. Espacio no compacto
Un espacio X es compacto si toda cubierta abierta admite un subrecubrimiento finito. Por tanto, no compacto significa que existe al menos una cubierta abierta de X de la que ninguna cantidad finita de sus elementos basta para cubrir X. Formalmente:
∃U [U es cubierta abierta de X ∧ ∀V⊆U (∣V∣<∞ ⇒⋃V≠X)].
Este es un buen ejemplo de cómo una negación puede convertirse en un objeto que demuestra el fracaso de una propiedad.
8. Grafo no conexo
Un grafo es conexo si entre cualesquiera dos vértices existe un camino. Así, un grafo es no conexo si existen dos vértices entre los cuales no existe ningún camino. Un claro ejemplo de una definición negativa muy intuitiva y visual.
9. Matriz singular
Una matriz cuadrada es singular si no es inversible, esto es, su determinante no es cero (recordemos que la inversa de una matriz se define como la inversa de la traspuesta dividida por su determinante, o la traspuesta de la inversa dividida por su determinante, por tanto, para nuestro caso, existe esa inversa si el divisor es distinto de cero).
Aquí la definición negativa (“no tiene inversa”) se transforma en una condición algebraica sencilla.
10. Número compuesto
Un número natural n>1 es compuesto si no es primo. Aquí nuevamente se puede transformar la negación:
∃a,b∈N, 1<a<n, 1<b<n, n=ab
Es decir, no ser primo equivale a tener un divisor propio.
11. Espacio métrico no separable
Un espacio métrico es separable si contiene un subconjunto denso numerable. Por tanto, es no separable si no existe ningún subconjunto numerable que sea denso.
Aquí la negación es especialmente interesante porque no significa simplemente que un conjunto concreto no sea denso, sino que ningún conjunto numerable puede conseguirlo.
12. Función no inyectiva
Una función f:A→B es inyectiva si imágenes iguales implica orígenes iguales, esto es, f(x)=f(y) ⇒ x=y.
Su negación es que no existan dos elementos distintos en el conjunto inicial tales que tengan imágenes iguales en el conjunto final, es decir, no ser inyectiva = encontrar dos elementos distintos que tengan la misma imagen.
Algunas propiedades negativas son simplemente el complemento de una propiedad positiva, mientras que otras tienen una formulación negativa mucho más rica que constituye por sí misma un concepto matemático. Por ejemplo, “irracional = no racional” o "infinito = no finito" es casi trivial. En cambio, “no compacto” implica la existencia de una propiedad no evidente y “no convergente” implica la existencia de un ε que permite demostrar que la sucesión se escapa de cualquier intento de convergencia.Se pueden encontrar ampliaciones de este tipo de estructuras en el blog y exhorto al lector a que se interese en lo positivo que es también lo negativo, como en estos casos.
