Un radar de tramo es capaz de medir la velocidad media de un vehículo entre dos puntos y saber si se ha superado el límite de velocidad establecido para ese tramo. Es útil en situaciones en las que no se puede instalar un radar fijo por problemas de visibilidad o cualquier otra circunstancia que entorpezca el desempeño habitual de los radares estandarizados de nuestras carreteras. Un ejemplo de situación de su uso sería para el cálculo de la velocidad de los vehículos en un túnel que, por sus características, impide la colocación de un radar fijo en su interior. Veamos un ejemplo práctico del funcionamiento de este tipo de dispositivos que, obviamente, hace (un buen) uso de las matemáticas, concretamente de un resultado muy importante.
Dos coches patrulla equipados con radar móvil distan 5 kilómetros entre sí en una carretera cuyo límite de velocidad es de 70 km/h. Un camión pasa por delante del primero a una velocidad v = 55 km/h y, 4 minutos después pasa ante el segundo con una velocidad v = 50 km/h. Probar que el camión superó el límite de velocidad de ese tramo de carretera en algún punto entre los coches patrulla.
Consideremos T = 0 (horas) el instante en el que pasa a la altura del primer coche patrulla. Entonces, el camión pasa por el segundo coche cuando T = 4/60 = 1/15 = 0,066 horas.
Llamemos f(T) a la función que mide la distancia recorrida por el camión, en kilómetros, en relación al tiempo medido en horas. Así, f(0) = 0; f(0,066) = 5, puesto que al cabo de 4 minutos, el camión ha recorrido los 5 kilómetros que distan entre los dos coches patrulla.
La velocidad media es vmed = [f(0,066) – f(0)] / (0,066 – 0) = 75,75 76 km/h. Como la función de posición f es derivable (es una función lineal, continua, sin picos y acotada en el intervalo de tiempo considerado), el Teorema del Valor Medio (TVM) asegura que en algún punto entre los coches patrulla, el camión ha viajado a 76 km/h, por lo que ha superado el límite de velocidad establecido para ese tramo de vía.
TVM: Sea una función f continua en un intervalo [a, b], b>a, y derivable en (a, b). Entonces, existe un punto c ∈ (a, b) / f´(c) = [f(b) – f(a)] / (b – a). Este teorema afirma que existe al menos un punto c que cumple esas condiciones, pero no dice nada sobre si es único o no.
Es necesario destacar que la función f que se ha usado se encuentra en forma implícita y no está planteada de forma explícita, es decir, no es de la forma f(x) = …, simplemente ha interesado saber sus valores en los puntos que interesaban para la resolución de este curioso problema.
