Más Cables, ¿Cuánto Miden?

 

    Un cable eléctrico que cuelga de dos torres distantes entre sí 200 metros, adopta la forma de una catenaria de ecuación y = (e^{x / 150} + e ^{-x / 150}) = cosh (x/150). Calcular la longitud del cable considerado.

Este es un pequeño problema que se le puede plantear al avezado observador y con el que trabajan habitualmente los ingenieros y plantea otra curiosidad sobre los cables y estructuras colgantes, como ya planteé en la entrada “Cables. Su Punto de Equilibrio”.

Es necesario el conocimiento básico de un par de cuestiones que, sin ir más lejos, son objeto del temario de matemáticas de secundaria (si no lo son, deberían serlo). Para ello, voy a definir dos conceptos que serán los utilizados para la correcta resolución de la cuestión arriba enunciada.

Definición 1: Si la gráfica de y = f(x) en el intervalo [a, b] es una curva suave, se define la longitud de arco de la curva en el intervalo como 

 

Esta definición proviene de aplicar el Teorema del Valor Medio (TVM) a la aproximación de la longitud de una gráfica por medio de segmentos rectos usando particiones.

Definición 2: Una catenaria es la forma que adopta un cable flexible uniforme suspendido de dos soportes de la misma altura (aunque no es necesario) como un hilo telefónico, una cadena, etc. En un entorno pequeño de su extremo inferior se asemeja a una sección de una parábola o una elipse. Se fórmula es         y = a cosh (x/a), siendo cosh el coseno hiperbólico de ecuación cosh x = (e^x + e ^-x)/2, y a el extremo inferior de la curva.

Con las herramientas anteriores, vamos a calcular, sin más que ir sustituyendo los datos, la longitud del cable pedida:

Teniendo en cuenta que la distancia entre las torres es de 200 metros, nuestro intervalo [a, b] es [-100, 100]. Esos son los límites de integración de la longitud de arco

y´ = ½ (e ^{x / 150} – e^{-x / 150})  hay que integrar entre los límites -100 y 100 la expresión                             ½ ( e ^{x / 150} – e^{-x / 150})²  s = (1) = 75 [ e ^{x / 150} – e^{-x / 150}] evaluada en los límites de integración  s = 150 (e ^⅔ – e ^-2/3)  (aproximado) 215 metros.

En (1) se ha usado ∫f´(x) e^f(x) dx = e^f(x) + c. En este caso, f(x) = x/150  f´(x) = 1/150