Rectas paralelas y rectas perpendiculares. No es necesario tener ningún conocimiento matemático profundo para saber distinguir estos conceptos en el plano y su significado. Ahora bien, ¿existe alguna relación “interesante” entre todas las rectas paralelas, entre sí, y entre todas las rectas perpendiculares entre sí, que las diferencie con una objetividad, me atrevería a decir de calidad, y sea diferenciadora en cuanto a estructura matemática? La respuesta es afirmativa.
Es intuitivo, desde el colegio, que dos rectas paralelas son aquellas que no se cortan en ningún punto (en los niveles bajos de la enseñanza se dice así) aunque, estrictamente, sí se cortan, en el infinito, ese lugar tan abstracto y complejo que mejor no pensar en él. Nos quedamos pues, con el concepto de que dos rectas son paralelas si no se cortan. Además, dichas rectas paralelas cumplen un axioma importante que afirma que por un punto del plano solo se puede trazar una recta paralela a una recta (este axioma no se cumple en el espacio) Sin embargo, se dice que dos rectas son perpendiculares si se cortan pero de un modo especial, de tal forma que esas rectas forman un ángulo recto, de 90º.
Voy a mostrar en esta entrada que entre todas las rectas paralelas a una recta dada, existe una relación muy importante en las matemáticas pero que las rectas perpendiculares no poseen: la Relación Binaria de Equivalencia (RBE). Una RBE permite obtener las clases de equivalencia de un conjunto y formar el conjunto cociente, clave para estudiar grupos abstractos, pero no entraré aquí en este tema.
Muy básicamente, una relación en lógica de conjuntos se dice que es Binaria si, dados dos elementos del conjunto producto-cartesiano, la relación entre ellos se cumple. Aunque es una definición muy amplia y dispersa, es la base para establecer estructuras de conjuntos hasta poder ordenarlos de forma absoluta a nivel matemático. Para el propósito de esta entrada, diré que es la base para crear la relación binaria que nos interesa; la de equivalencia.
Por tanto, una relación binaria se dice que es de Equivalencia si cumple tres leyes lógicas básicas, que son: reflexiva, simétrica y transitiva. Así, la propiedad reflexiva se refiere a un único elemento del conjunto, la simétrica tiene en cuenta la relación entre dos elementos y la transitiva relaciona dos elementos con un tercero. Veámoslo para nuestro ejemplo particular enunciado, es decir, vamos a probar que el paralelismo de rectas en el plano es una RBE:
Para ello, se puede definir el paralelismo de rectas en el plano de la siguiente forma: dos rectas del plano son paralelas si su intersección es nula o si las rectas coinciden. Su expresión matemática sería de la forma rr´ = ó bien, r r´. Como ejemplos prácticos, mencionar que dos rectas del plano son paralelas si tienen el mismo vector director pero su término independiente es distinto, como es el caso de la recta x + y - 1 = 0 y la recta x + y +3 = 0. La recta 2x - y + 5 = 0 y la recta -4x +2y - 10 = 0 son la misma puesto que la segunda recta es la primera multiplicando cada coeficiente por -2. Veamos las propiedades mencionadas antes:
- reflexiva: toda recta es paralela a ella misma, ya que r r´.
- simétrica: si una recta es paralela a otra, la segunda es paralela a la primera, ya que si rr´ = r´r = ó bien, si r r´ r´ r, por lo que la segunda es paralela a la primera.
- transitiva: si la recta r es paralela a la recta r´ y ésta es paralela a r´´, entonces r y r´´ son paralelas. Para probar esta propiedad, supongamos que r y r´´ no son paralelas. Entonces, se cortarán en algún punto P del plano, es decir, rr´´ =P. Así, por este punto se podrán trazar dos paralelas a r´, lo cual contradice la axiomática de las rectas paralelas del plano comentada al comienzo de estas líneas, que afirma que por un punto de un plano solo puede pasar una paralela a una recta dada.
Así pues, el paralelismo de rectas en el plano cumple los requisitos de tener una RBE por lo que el conjunto de todas las rectas del plano queda compartimentado en clases de equivalencia.
Veamos el caso más sencillo de las rectas perpendiculares del plano. Aquí, es evidente que ninguna recta es perpendicular a ella misma por la propia definición de perpendicularidad, por lo que la propiedad reflexiva no se cumple y así no se obtiene la RBE. Sí se verifica la propiedad simétrica de forma clara pero tampoco se verifica la propiedad transitiva, ya que dos rectas del plano que son perpendiculares a una tercera, sucede que entre ellas son paralelas y no perpendiculares.
Se ha probado que la propiedad del plano “ser recta paralela a otra” es muy importante y tiene unas características muy interesantes, pero no así en lo que respecta a las rectas perpendiculares, que aparentan tener más dificultad o misterio que las paralelas.
