Es
evidente, hoy en día, la importancia del número “e”
en varios campos de la matemática destacando en el análisis
matemático. En esta entrada voy a explicar brevemente cómo surgió
tan curioso número a partir del interés bancario a finales del
siglo XVII, esto es, muy recientemente. Destacar que este número es irracional y
trascendente y ya lo he nombrado en este blog en algunas entradas como Pincelada Sobre Números Algebraicos y Trascendentes o la entrada Números Excepcionales I
Supongamos, como ejemplo, que creamos un depósito en un banco por valor de 5000 € al 3 % de rendimiento. Supongamos que no retiramos ni el dinero ni los intereses generados, ¿qué capital habrá al cabo de 1 año, al cabo de 2 años, y sucesivamente?
El anterior es un problema que se nos puede plantear en algún momento de nuestra vida, sin duda:
Al cabo de 1 año se tendrán 5000 + 5000 3/100 = 5000 (1 + 0,03) = 5150 €.
Al cabo de 2 años se tendrán 5150 (1 + 0,03) = 5000 (1,03)2 = 5304,5 €.
Al cabo de x años se tendrá la expresión, en euros, 5000 (1,03)x
En general, si se coloca un capital C al r % de interés, ¿qué capital se habrá formado al cabo de t años?
Llamemos i = r / 100 , entonces se cumple que:
Al final del primer año, C1 = C + C i = C (1+ i)
Al final del segundo año, C2 = C1 (1 + i) = C (1 + i)2
Al final del año t, se tiene Ct =C (1 + i)t
A esta expresión se la denomina interés compuesto.
Si los intereses se abonaran trimestralmente, el capital final sería Ct = C (1 + i/4)t, con t = nº de trimestres.
Si los intereses se abonaran mensualmente, el capital final sería Ct = C (1 + i/12)t, con t = nº de meses.
Supongamos ahora que ingresamos en un banco 1 € con un interés compuesto del 100 % anual. Así, al cabo de 1 año se tendrán (1 + 1)1 = 2 €.
Si el abono de intereses es mensual, al cabo de 1 año se tendrán (1 + 1/12)12 = 2,61303523… €.
Si el abono de intereses es diario, al cabo de 1 año se tendrán (1 + 1/365)365 = 2,71456748… €.
Si el abono de intereses es cada segundo, como un año tiene 365·24·60·60 = 31536000 segundos, al cabo de 1 año se tendrán (1 + 1/31536000)31536000 = 2,7182817853… €.
Si dividiésemos el año en “n” partes iguales y haciendo que “n” fuese muy grande, al final del primer año se tendrían (1 + 1/n)n = 2,718281828459… euros.
Se
define número e como el valor al que tiende la expresión (1
+ 1/n)n
cuando n
toma valores muy grandes, es decir, e = limn
→
+∞
(1 + 1/n)n.
Cuando se "descubrió" este curioso número no se sabía la importancia que tendría en el futuro y el avance que supuso para las matemáticas en general y la ingeniería en particular y cómo se entrelazan las diferentes áreas de las ciencias puras, pasando, por las aplicaciones del número "e", de la economía a los numeros complejos, el análisis matemático o la estadística.
