En la entrada Un Poco Más Sobre las Estrellas y una Ley Muy Importante I ya comenté que la Ley de Hubble se expresa como V = H r , donde V es la velocidad radial en km/s y r es la distancia notada en Mpc (mega-parsec) y se calculaba un valor teórico de la constante H, la constante de Hubble que él mismo aproximó a un valor de 540 km/s por Mpc. Los cálculos de distancias estelares resultaban muy inciertos para las primeras décadas del siglo XX de forma que este valor ha ido evolucionando desde entonces situándose entre 50 y 100 (km/s) / Mpc, según el método que se utilice para su determinación. Hoy en día, ese valor se sitúa en el entorno de 70 con un error de pocas unidades. Nota: un mega-parsec es la distancia equivalente a 3,26 millones de años-luz.
En esta entrada propondré el método clásico para calcular el valor de H utilizando una muestra de galaxias para las que se determina sus velocidades de recesión y sus distancias a partir de sus espectros. Este método lo utilicé en la asignatura Astrofísica de mi último año de carrera universitaria. Dichas galaxias son: Corona Borealis, Bootis, Hidra, Ursa Maioris y Virgo. Estas galaxias son miembros de cúmulos de galaxias y tienen la misma morfología por lo que se supone que tienen iguales diámetros. Se pueden calcular sus distancias dado que las imágenes están tomadas a la misma escala, suponiendo la hipótesis anterior. Sus espectros permiten visualizar las líneas H y K del Calcio frente a los espectros de referencia y la aplicación de la fórmula del efecto Doppler (la fórmula no relativista al tratarse del método clásico) permitirá calcular sus velocidades radiales respecto a nuestro sistema solar. El método algorítmico es el siguiente:
1) Determinar la velocidad radial de cada galaxia.
a) Determinar la escala de los espectros: medir la distancia (en milímetros con la mayor precisión posible) entre dos líneas de referencia cualesquiera. Calcular la diferencia entre las longitudes de onda correspondientes a las líneas elegidas (los valores de las longitudes de onda están dados como datos). Se obtiene así una relación de escala (Ángstrom / mm). Se realiza esta operación con varios pares de líneas para encontrar un valor medio y una dispersión para esta escala. Nota: 1 Ángstrom = 1 Å = 1 × 10–10 m.
b) Determinar a qué longitud de onda aparece la línea K del Calcio. Dada la relación de escala del apartado anterior, las medidas de desplazamiento (en mm) que se realicen respecto de su posición "de laboratorio" pueden convertirse a desplazamientos de las líneas en Ángstroms. Encontrar el valor medio de este desplzamiento para K. Nota: las longitudes de onda (de laboratorio) de líneas de Calcio en Ángstroms son K: 3933,7; H: 3968,5.
c) Con el resultado anterior se puede averiguar la velocidad radial V aplicando la expresión del efecto Doppler V = c * Δλ / λ , siendo c la velocidad de la luz medida en km/s.
2) Determinar la distancia de cada galaxia.
a) Determinar la escala lineal de las fotografías, con la línea de referencia en segundos de arco / mm.
b) Medir los diámetros medios de las galaxias (en mm sobre el papel) y convertirlos, utilizando la escala anterior, a segundos de arco.
c) Convertir estos diámetros angulares a radianes y después a distancias (en Mpc) tomando como diámetro 105 para todos ellos.
3) Diagrama de Hubble.
Construir la tabla de valores de V y r para las cinco galaxias de muestra. Dibujar el diagrama de Hubble con estos datos. Estimar un valor de H dibujando una línea de ajuste del diagrama. Encontrar H con su error ajustando una recta por mínimos cuadrados al conjunto de los datos y forzando a que pase por el punto (0, 0).
4) Determinar la edad y el tamaño del universo.
a) La edad del universo se estima que tiene como límite superior H–1. Convertir H a unidades de (km/año) / km. Su inversa proporcionará la edad del universo en años. Hoy en día, se ha calculado el tiempo de Hubble como H–1 = 20*109 años.
b) Se puede estimar un radio del universo suponiendo que ese límite se encontraría en una galaxia que se desplazara a la velocidad de la luz. Encontrar esta distancia y expresarla en años-luz.
En la realización de este trabajo mis cálculos arrojaron un valor de H = 84 (km/s) / Mpc con error superior de +12 y error inferior de -4,8.
Son evidentes las dificultades de aproximarse a un valor como el de H a partir únicamente de observaciones y más aún en los tiempos en los que Edwin Hubble trabajó sobre ello, de ahí el enorme mérito de este extraordinario astrofísico.
