Consideremos la ecuación (3 / 2) x = 2 y que se simplifica rápidamente a la forma 3 x = 2 x + y . Después de algunos cálculos sencillos se encuentra la solución y = x (log2 (3) - 1) , cuyo valor aproximado es y = 0,585 x , una recta del plano con pendiente positiva.
Lo que pretendo plantear en esta ocasión no es resolver una ecuación exponencial aplicando algunas sencillas y conocidas propiedades logarítmicas (algunos conceptos sobre los logaritmos se encuentran en la entrada Algunas Notas Sobre Logaritmos ). Voy a explicar el significado de coma pitagórica que aparece en la armonía musical. Los pitagóricos estudiaron con detalle el sonido producido por la única cuerda que posee un monocordio (proviene del griego y significa instrumento de una sola cuerda). Al variar la longitud de la cuerda, ésta generaba distintos sonidos, lo que hoy se conoce como notas musicales. Cuanta más corta era la cuerda, más agudo era el sonido resultante. Los sonidos más agradables o armónicos al oído se generaban de una forma muy concreta: dividiendo la cuerda a la mitad (1 / 2), a la tercera parte (1 / 3), a los dos tercios (2 / 3) y a los tres cuartos (3 / 4) de la longitud original. Así, se nombran las conocidas relaciones en orden a la fracción que falta de los anteriores valores para completar 1 unidad, es decir, el valor que hay que añadir a los anteriores para llegar a la longitud máxima de la cuerda, con lo que se tienen:
-La octava: la cuerda se pisa a la mitad de su longitud, por tanto, su relación es 2 : 1. En lenguaje musical, es el intervalo entre dos notas. Por ejemplo, la distancia entre un Re y el siguiente Re. Una octava son 12 semitonos.
- La quinta: la cuerda se pisa en un punto situado a 1 / 3 de la longitud de la cuerda por lo que su relación es 3 : 2. Una quinta son 7 semitonos, lo que equivale a 700 Cents. Una quinta pura o pitagórica equivale a 702 Cents.
- La cuarta: la cuerda se pisa a 1 / 4 de la longitud total, que numéricamente equivale a 4 : 3.
La idea fundamental que encierra esta armonía es el patrón numérico (n + 1) : n , el cual es el que produce los sonidos más armónicos o agradables. Este proceso acarrea ciertas dificultades con las notas musicales al no completar el círculo, pero no entraré aquí en conceptos musicales por no ser el objetivo que pretendo explicar.
Falta por aclarar qué es el Cent: es la menor unidad de medida logarítmica que se emplea para medir con precisión absoluta los intervalos musicales. Es una centésima de semitono. Así, un intervalo de 1 Cent es tan pequeño que no es perceptible por el oído humano. Como 12 semitonos son 1 octava, el cent es el número c que cumple la ecuación (c 100) 12 = 2 , que, simplificando nos da (nos quedamos con la solución positiva) c = 2 1 / 1200 , es decir, la raíz 1200-ésima de 2. El valor es c = 1,000577... Aunque la unidad de medida del sonido es el Hercio (Hz), válido tanto para ondas sonoras como para ondas electromagnéticas, en realidad el Cent es una relación y no sería exacto definirlo como una unidad de hercios. Es un concepto un tanto complicado pero para esta entrada ha sido suficiente lo comentado en este párrafo.
Con todo lo anterior, la llamada Coma Pitagórica, CP, se define como la distancia de siete octavas entre notas. Su expresión numérica es CP = f · (3 / 2) 12 / f · 2 7 = 1,013643264... , donde f es una frecuencia dada inicial desde la que se parte, es decir, la coma pitagórica es algo más del 1% de 1 octava. De ahí que planteara la ecuación del principio de este capítulo.
Es evidente que los números imperan en cualquier ámbito relacionado con la naturaleza humana (como ejemplo, se puede revisar la entrada Hombre No-Numérico ), como la de cualquier ser vivo, e incluso, como se ha visto aquí, en el ámbito más artístico y no científico del hombre.
