Los Números en Mesopotamia

    Hace algunos años escribí unas entradas referidas a los sistemas de numeración de algunas civilizaciones notables de la historia del ser humano y, en especial, la numeración de los mayas. Invito al lector a acudir a aquéllas en los enlaces Sistemas de Numeración y Sistema Vigesimal: la Fascinante Numeración Maya .

   Ahora retomo aquellas líneas con un sistema de numeración cuanto menos curioso: el sistema de la civilización de Mesopotamia cuya base era el número 60 o sexagesimal, peculiar éste pero muy práctico ya que es divisible por muchos de sus números inferiores: 60 es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15 y 30, obviando, evidentemente, la unidad y él mismo. La cuestión práctica es que se reduce de forma considerable la necesidad de recurrir a las fracciones. Los mesopotámicos vivieron hace varios milenos antes de nuestra era y desarrollaron su sociedad entorno a los ríos Éufrates y Tigris.

   Siguiendo con el desarrollo anterior, el número 60  también proporcionaba un múltiplo para contar el número de días de un año solar, aproximadamente, ya que 360 = 6 x 60 y así se optó por dividir el círculo en 360 veces, lo que hoy conocemos como grados. Con esta solución se podía saber en qué día del año se estaba y cuántos faltaban para el siguiente ciclo, puesto que el Sol avanzaba una vez o grado al día. Se conserva en la actualidad un magnífico documento (una tablilla de barro) llamado Plimpton 322 que ilustra los conocimientos matemáticos de los mesopotámicos: eran conocidos el cuadrado de un número, el cubo, la raíz cuadrada y la raíz cúbica. Un destacado gobernante llamado Gudea que reinó sobre el 2000 AC, fue representado en diferentes estatuillas que se conservan hoy en día, en las que aparecen grabadas unas reglas graduadas, lo que da pie a pensar que se obtuvo un gran avance en matemáticas durante su gobierno.

   Una sociedad avanzada como la mesopotámica realizaba operaciones mercantiles, con lo que se progresó en la concesión de préstamos con intereses y en la aritmética enfocada al comercio y, derivado de este comercio, las pesas y medidas de la materia prima tuvieron que unificarse y de esta unificación nació la hegemonía de Babilonia en todas las transacciones de Mesopotamia. Había unidades de medida para la longitud (el codo), el volumen (el ka), el peso (la mina) y la capacidad (el sar) y todos los múltiplos y submúltiplos se calculaban sobre la base sexagesimal.

   Como curiosidad, cabe destacar que los mesopotámicos conocían que en el firmamento había una serie de estrellas fijas y otras que se movían con relativa frecuencia siguiendo unas órbitas peculiares: lo que hoy en día conocemos como los planetas. Estos planetas se podían ver a simple vista y eran Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno que, junto con el Sol y la luna suman 7. Así se dispuso que este número conformaría una semana. En el recorrido estelar de los planetas, éstos atravesaban determinados grupos de estrellas a los que se atribuían formas animales. Estos grupos de estrellas son los que denominamos signos del zodíaco y son 12 y en cada una de estas agrupaciones el Sol permanecía aproximadamente 1 mes. Así pues, 1 año era el tiempo que el Sol tardaba en estar 1 vez en cada uno de esos grupos estelares. 

   Cada civilización obtuvo pues un sistema numerario perfectamente válido y que permitió avanzar técnicamente y socialmente para poder conseguir comprender un poco mejor su entorno y, por qué no, el firmamento.

 

La Fuerza del Viento en Nuestras Vidas

   El viento ha derribado un muro de ladrillos con hormigón de 3 metros de altura y 30 centímetros de espesor, ¿qué velocidad desarrolló el viento para volcar ese muro?

   Por motivos laborales tuve que ponerme en la situación de la cuestión planteada en esta entrada que aconteció en una pequeña localidad. Ese viento no derribó una única pared sino que siguió una ruta lineal a lo largo de la población, provocando daños materiales así como el fallecimiento de algunos animales ovinos y bovinos al verse aplastados por esos muros que cedieron con el viento. La cuestión clave era determinar el tipo de evento acaecido para poder así acceder a reclamaciones de las aseguradoras, sobre todo en el caso particular de la situación planteada en la pregunta inicial que fue la zona que se vio envuelta en la peor parte del problema: algunas ovejas fallecieron y una vaca resultó herida ya que se encontraban detrás de ese muro que delimitaba parte de una finca.

   La cuestión planteada con esas consecuencias no es baladí y requiere afinar puesto que se trata de vidas animales y sumas de dinero a tener en cuenta.

 El planteamiento del problema es claro y los datos de los que se dispone son los siguientes:

altura del muro h = 3m

espesor del muro e = 0,3m

densidad del aire ρ ≈ 1.225 kg/m³

gravedad  g = 9.81 m/s²

densidad del hormigón  ρc ≈ 2400 kg/m³

Donde el símbolo  ≈ denota "aproximadamente".

La presión del viento sobre el muro viene dada por la ecuación  P = 1/2 ρ  v² ,donde v es la velocidad del viento, por lo que la fuerza del viento sobre el muro es Fviento ​= P × área = 1/2 ρ  v² × (h × longitud).

Se puede suponer, sin pérdida de generalidad que la longitud a estudio mide 1m para simplificar los  cálculos, por lo que queda así, sustituyendo, Fviento = 1.8375 v²

-Nos faltan dos datos más: el momento de vuelco del muro y el momento de estabilidad del muro, ya que el muro se cae pivotando sobre la base que está en el suelo:

 1) El momento del vuelco es la fuerza que se ejerce en el punto de equilibrio de masas del muro, esto es, en el centro del muro que se sitúa a 1,5m de altura y la ecuación es Mviento = Fviento x h/2 = Fviento x 1,5. Haciendo cálculos con la fuerza de antes se obtiene Mviento = 2,756 v²

2) El momento de estabilidad del muro es el peso del muro por metro en la mitad de su espesor y, a su vez, el peso del muro viene dado por la densidad del hormigón en su volumen, es decir, traducido a un fórmula nos queda, Mresist =  (densidadHor x volumen) x espesor/2 = 2400 x (3 x 0,3 x 1) x 9,81 x 0,15 = 2160 kg x 9,81 x 0,15 = 21189,6 N x 0,15 = 3178,4 Nm

Para que se produzca el vuelco del muro ha de suceder que el viento ha de ser superior a la resistencia del muro, esto es, Mviento > Mresist y así despejamos la velocidad del viento: 2,756 v² > 3178,4  de donde v > 34 m/s (aproximadamente 122 km/h).

Según la escala de huracanes de Saffir-Simpson, el dato anterior corresponde a un huracán de categoría 1, el más leve en dicha escala. A ese dato le corresponde un 12 según la escala de Beaufort, lo cual da idea de la fuerza del viento generada.

Con estos datos, todos los afectados pudieron reclamar daños y perjuicios a sus respectivas aseguradoras sin presentar éstas ningún inconveniente en las conclusiones. 

 

 

 

Metales: Composición y Transformación

    Están en nuestras vidas modernas y sin ellos la civilización actual no podría existir pero hasta hace poco tiempo se desconocía cómo se transformaban y moldeaban para adaptarlos a los distintos usos, tanto actuales como futuros, que requiere una sociedad avanzada. Aún hoy en día se descubren nuevas habilidades y características de los metales (y minerales) más usados en construcción civil, nanotecnología, transportes y, sobre todo, industria aeroespacial. Esta última requiere unas condiciones extremas de temperatura y presión que los metales han de soportar con garantías.

   El acero es un metal no puro ampliamente usado en todas las industrias actuales desde hace milenios pero no fue hasta los siglos XVIII, XIX y mediados del siglo XX en los que se fueron descubriendo las formas más eficientes de creación y desarrollo tal y como iba demandando la transformación social, científica y armamentística de esta convulsa época. El más utilizado en la actualidad es el acero de construcción (también llamado acero al carbono) aunque existen muchos tipos de acero especializados y con características y estructuras diferenciales dependiendo de su uso. El acero es muy "agradecido": se puede alear con una amplia gama de otros metales, se puede tratar y mecanizar de muchas formas puede fabricarse con propiedades magnéticas o no, etc.

   El Diagrama Hierro-Carbono o diagrama Fe-C, explica las diferentes fases de transformación del acero dependiendo de la temperatura que se le aplique en su fabricación. Lo más importante de este proceso de fabricación del acero de construcción es, una vez elevada la temperatura a la cual se quiere tratar, la rapidez del enfriamiento de dicho acero. Éste, entonces, se puede enfriar de forma lenta, por lo que se obtendrán distintas estructuras formando distintos tipos de acero garantizando la difusión de los átomos, que explicaré más adelante, o bien se puede enfriar de forma rápida (se obtienen así los llamados aceros templados), lo que transforma la denominada austenita (una de las estructuras de los átomos del hierro y carbono del acero con un porcentaje de carbono menor del 2,11%, que no es estable a temperatura ambiente, la cual hay que elevar hasta los 1100ºC para que lo sea) en martensita (que debe su nombre al científico alemán Adolf Martens) mediante la llamada TRANSFORMACIÓN MARTENSÍTICA, proporcionando así un acero muy duro aunque frágil. No es bien conocida en profundidad aunque sus características principales sí. Es importante resaltar que esta transformación que crea martensita a partir de austenita se produce en estado sólido, al igual que otras estructuras del acero como son la bainita, la ferrita o la cementita. El punto de fusión del acero varía dependiendo de los distintos componentes que contenga pero siempre se produce, aproximadamente, por encima de los 1400ºC. Como esta transformación es muy rápida, el proceso de difusión es prácticamente inexistente. Hay que tener en cuenta que esta difusión es un proceso físico, no químico, y es reversible: consiste en la homogeneización de las partículas dentro de un material de forma que pasan de estar concentradas en una región a estar distribuidas de forma homogénea en dicho material. La difusión completa da lugar a ferrita y cementita, que son otras estructuras del acero, como ya mencioné. Lógicamente, la reversibilidad de esta transformación viene dada por el aumento de la temperatura del acero según el mencionado Diagrama Hierro-Carbono.

   Merece la pena resaltar también en este breve acercamiento al acero y en especial al acero de construcción, que todas estas estructuras internas cambian sólo en función de la temperatura y del tiempo de enfriamiento según el Diagrama Hierro-Carbono siendo el acero un metal con base de hierro y multitud de clasificaciones y tipos según forme aleaciones con otros diferentes metales y la forma en la que se crean estas aleaciones, de ahí la importancia del acero en la actualidad de la sociedad moderna y de futuro.

 

Retazo de Inmensidad

   Mágica es la heroicidad del Sol al quemar cada mañana el horizonte y asomarse lentamente a los mundos. Las Lunas, en cambio, son más esquivas y aleatorias en sus andares celestes atravesando la vacuidad y mostrándose tan coquetas como frugales...

Algunas Ecuaciones tan Interesantes Como Importantes

   Un observador meteorológico toma nota de dos valores de temperatura (la del termómetro seco y la del termómetro húmedo) en una observación en campo y, de ellos, se obtienen otros muchos datos. ¿Cómo se consiguen los valores de la humedad relativa, la temperatura de rocío, la relación de mezcla, la presión de vapor y la presión de vapor de saturación (todos estos parámetros de humedad) con tan solo dos datos?

Para ponernos en situación repasemos algunos conceptos:

Temperatura de bulbo seco (T): la temperatura de bulbo seco es la verdadera temperatura del aire húmedo y con frecuencia se la denomina sólo temperatura del aire; es la temperatura del aire que marca un termómetro común.

Temperatura de punto de rocio (Td): es la temperatura a la cual el aire húmedo no saturado se satura, es decir, cuando el vapor de agua comienza a condensarse, por un proceso de enfriamiento, mientras que la presión y la razón de humedad se mantienen constantes.

Presión de vapor (Pv): es la presión parcial que ejercen las moléculas de vapor de agua presentes en el aire húmedo. Cuando el aire está totalmente saturado de vapor de agua su presión de vapor se denomina presión de vapor saturado (P_VS).

Relación de mezcla (W): la razón de humedad del aire se define como la relación entre la masa de vapor de agua y la masa de aire seco en un volumen dado de mezcla. La humedad absoluta, denominada también densidad del vapor de agua, es la relación entre la masa de vapor de agua y el volumen que ocupa la mezcla de aire seco y vapor de agua.

Humedad relativa (f): se define como la razón entre la presión de vapor de agua en un momento dado (Pv) y la presión de vapor de agua cuando el aire está saturado de humedad (Pvs), a la misma temperatura. La humedad relativa se puede expresar como decimal o como porcentaje.

La ecuación que relaciona estas variables se denomina ECUACIÓN PSICROMÉTRICA y se expresa como: P_v = P_VS,_bh - a₁ * P * (T-T_bh), donde:

Pv = Presión o tensión de vapor
Pvs,bh = Presión de vapor de saturación a la temperatura de bulbo húmedo (tabulado).
a1 = Factor psicrométrico (varía con la ventilación, tabulado).
P = Presión atmosférica (Si no se conoce la presión pero sí la altura, se obtiene P a través de tablas).
(T-Tbh) = Diferencia o depresión psicrométrica (diferencia entre las temperaturas del termómetro de bulbo seco y el de bulbo húmedo). Los parámetros tabulados son aquellos de los que se han obtenido datos experimentales y se encuentran ya tabulados con precisión.

Otras forma de calcular la presión de vapor (Pv) son 

Pv = 6.112 * EXP [17.7 * Td / ( Td + 243.5)], donde Td es la temperatura de rocío en ºC

Pv = Pvs - 0.66*10³ * P * (T - Tbh) * (1 + 1.146 * 10³ * Tbh), donde P es la presión atmosférica en Hpa, PVs es la presión de vapor de saturación para T en Hpa y T y Tbh son la temperatura y la temperatura de bulbo húmedo en ºC.

   La fórmula para obtener la presión en función de la altitud es la siguiente: 

P1 = Po / EXP [Z * g /( R * Tm)], 

donde P1 = Presión a una altitud de Z metros (en Hpa), Po = Presión en superficie (en Hpa), Z = altitud del nivel de presión P1 (en metros), g = aceleración de la gravedad = 9.80617 m/seg2, R = Constante de los gases =287.04 m2/seg2ºK, Tm = Temperatura media entre los niveles de presión P1 y Po - Se puede escribir como Tm = (To + T1) / 2 y como T1=To-g*Z, podemos escribir Tm=(To+To-(g*Z))/2 => Tm=To-g*Z/2, donde To es la temperatura en superficie (en ºK), g es el gradiente térmico vertical y Z es la altitud.

En una una atmósfera standard los valores son:

Po = 1013.3 Hpa
To = 15ºC = 288ºK
g = 0.65ºC/100 m

Por lo que la fórmula queda P1 = 1013.3 / EXP [Z /(8430.15 - Z * 0.09514)], donde: P1 = Presión en Hpa a la altitud Z y Z = altitud en m.

La humedad relativa puede obtenerse con la fórmula ø = (Pv/Pvs) * 100

La humedad absoluta es la relación entre la masa de vapor de agua y el volumen ocupado por una mezcla de vapor de agua y aire seco. Se calcula con Ha = 216 * Pv / T (g/m³), con Pv es la presión de vapor en Hpa y T es la temperatura del aire en ºK

La humedad específica es la relación entre la masa de vapor de agua y la masa de aire húmedo y se calcula con He = 0.622 * Pv / (P - 0.378 * Pv) ó aproximadamente He = 0.622 * Pv / P, donde P es la presión atmosférica en Hpa y Pv es la presión de vapor en Hpa.

La temperatura de rocío viene de la ecuación Td = C₁ * (Pv *10^-3)^C₂ + C₃ ln (Pv * 10^-3) + C_4, donde
C1 a C4 son constantes que varían de acuerdo al valor de la Pv y Pv es la presión de vapor (en Pa).

Al valor obtenido habrá que restarle 273.16 ya que el resultado es en ºK

Para 0.16 Pa< Pv < 610.74 Pa (temperaturas bajo cero)

C1 = 82,44543 -  C2= 0,1164067 -  C3= 3,056448 - C4= 196.814270

Para 610.74 Pa < Pv < 101340 Pa (temperaturas sobre cero)

C1= 33,38269 - C2=0,2226162 - C3= 7,156019 - C4= 246,764110

Existe una buena aproximación también con la siguiente fórmula: Td = T + 35 Log (ø), con T= Temperatura en ºC y ø = Humedad relativa.

Podemos obtener la relación de mezcla (w) con la siguiente fórmula: w = 0,62198 * [Pv / (P - Pv)], donde Pv = Presión de vapor y P = Presión atmosférica (el valor obtenido debe ser multiplicado por 1000).

 Y, por último, ¿cómo calcular la altitud de una estación conociendo su presión (teniendo en cuenta una atmósfera standard)? Con la ecuación Z = [8430,153 * ln (1013,3/P1)]/[1+ 0,095 * ln (1013,3/P1)]

Una vez obtenido el dato puede convertirse a nivel de vuelo (Fly Level) a través del siguiente cálculo: FL = Z / 30,4794, donde Z es la altura en metros para obtener el valor en Pies.

Un ejemplo muy sencillo sería calcular la altura de la superficie de presión de 500 Hpa (valor muy importante en meteorología al igual que 850 Hpa, este último lo dejo como ejercicio): Sustituyendo se tiene Z= [8430,153 * ln (1013,3/500)] / [1 + 0,095 * ln (1013,3 / 500)] => Z = 5580 m ===> FL183.

 Hasta aquí esta entrada con ecuaciones importantes que se usan en meteorología. Hay muchas más debido a que la atmósfera es un fluido y, como tal, tiene sus dinámicas y comportamientos con su complejidad y... fascinación.