Validación de Experimentos

    Se experimenta día a día con tecnología, medicamentos (hoy más que nunca), arquitectura, materiales y un largo etcétera pero ¿cómo se valida un experimento?, ¿cómo se asegura su objetividad al repetirlo? La validación de un experimento se realiza mediante la aplicación de lo que se denomina coeficiente de validez, a través de la correlación entre dos series de resultados: el del experimento y el de la prueba de comprobación. Así, un alto coeficiente de correlación en la validez de un experimento nos permitirá predecir un tipo de conducta partiendo únicamente de la aplicación del experimento. La correlación R es la correspondencia más o menos importante entre dos valores basada en un conjunto de cálculos de aplicación estadística.

Se estima la siguiente tabulación para los distintos valores de R (la correlación se evalúa entre 0 y 1):

-menos de 0.69 => R es baja o dudosa

-de 0.69 a 0.74 => R es moderada o débil

-de 0.75 a 0.84 => R es aceptable o buena

-de 0.85 a 0.94 => R es alta o muy buena

-de 0.95 a 0.99 => R es excelente

Una correlación R = 1 es perfecta y significa que las dos variables medidas se corresponden de forma absoluta en sus valores y variaciones.

   Se pueden distinguir distintos tipos de validez:

1) De contenido o lógica: se expresa cuando el experimento representa el mejor criterio para evaluar la capacidad en estudio y se basa en el análisis de los casos que integran la prueba, su grado de dificultad, su estabilidad para medir lo pretendido y la relación con el objeto de la evaluación.

2) Predictiva: está en relación con el grado de probabilidad que presenta un experimento para predecir cuál será un resultado futuro de un individuo en relación a una determinada conducta o capacidad. Como norma general, este tipo de comprobación requiere mucho tiempo ya que es necesaria una amplia serie de medidas.

3) Empírica o referida a los criterios: puede realizarse poniendo en correlación los valores del experimento con los de otro experimento conocido ya validado (denominado prueba paralela) o poniendo en correlación los valores del experimento con un criterio exterior, como una competencia.

4) Factorial: se utiliza para la comparación entre experimentos. Si la correlación es alta (según la tabla anterior, entre 0.85 y 1), ambos experimentos tienen una alta correspondencia y si la correlación es baja o nula (menos de 0.69) cada experimento mide un aspecto diferente.

   Por tanto, ha de buscarse una prueba de evaluación objetiva que no dependa de la persona u objeto que realiza el experimento y esta objetividad debe prevalecer en la construcción, aplicación, explicación, descripción e instrucciones de la realización del experimento. También ha de verse reflejada en que los grados de valoración del rendimiento obtenidos en las pruebas dependen de si la prueba en sí misma es objetiva o cuándo incide más la interpretación.

   Lo más conveniente para corroborar la objetividad de un experimento es realizarlo con, al menos, dos equipos de evaluadores diferentes y en intervalos de tiempo reducidos aunque, dependiendo de la naturaleza del experimento, se puede dilatar más o menos el tiempo. Si se consigue un coeficiente de correlación que muestre una R cercana al 1 entonces los resultados obtenidos serán análogos obteniendo así un alto grado de objetividad del experimento.

   Los criterios de calidad principales para la realización de un experimento (validez y objetividad) vienen acompañados de una serie de criterios secundarios, aunque no por ello carecen de importancia:

a) Normalización: consiste en transformar el valor del experimento a una ubicación con relación a una norma estadística. Se llega así a la realización de escalas de medidas que se elaboran a través de estudios estadísticos con el objetivo de la confección de las normas. La idea es obtener un elevado número de elementos que realicen el experimento para así poder, a través de la estadística (en concreto, de los teoremas de Lindenberg-Levy, la Ley Débil de los Grandes Números y la Ley Fuerte de los Grandes Números), "normalizar" los resultados obtenidos, esto es, que se distribuyan según la Distribución Normal con media y desviación típica conocidas.

b) Estandarización: para que sea válida la comparación de resultados recogidos sobre diferentes grupos objeto de estudio o sobre el mismo grupo objeto de estudio pero en períodos diferentes, es necesario estandarizar las técnicas de administración del experimento. Una pequeña variación en las reglas de realización de una prueba pueden alterar el resultado y su valoración posterior.

c) Economización: se considera un experimento económico aquel que sea realizable en poco tiempo, que precise poco material y maquinaria y que pueda ser interpretado fácilmente sin muchos cálculos.

d) Utilidad: se considera útil un experimento que analice una conducta o capacidad para cuyo conocimiento existe una necesidad práctica y un auténtico interés de conocimiento.

e) Probabilidad: el experimento debe ser realizado con éxito por un porcentaje elevado de personas u objetos que estén capacitados para su desempeño.

   El rigor debe superar a la opinión cuando de experimentar se trata, y espero que sirva esta entrada para clarificar cómo se ha de regular la realización (seria) de un experimento.

Euler y las Ecuaciones Diferenciales

Nadie duda que Leonhard Euler es uno de los científicos más grande de todos los tiempos, adelantado a su época y con una curiosidad tan grande como su prodigiosa mente. Por citar un par de aportaciones, fue el descubridor del grandioso número “e” o el `creador´ de la fórmula más bonita de las matemáticas, la Identidad de Euler:

Traigo hoy aquí una contribución a un campo de la ciencia aplicada, en este caso, un método sencillo para aproximar la solución de una ecuación diferencial (¡tan solo sabiendo la definición de lo que es una ecuación diferencial!).

Con este mecanismo se puede hallar, en el segmento [x₀, b], la solución aproximada de la ecuación y’ = f(x, y) con la condición inicial y(x₀) = y₀. Consiste en sustituir por una unión de segmentos rectos la curva integral buscada de la ecuación diferencial que pasa por el punto M₀(x₀, y₀).

Se divide el segmento [x₀, b] en n partes, no necesariamente iguales, por los puntos x₀ < x₁ < … < x_n = b.

Se traza, por el punto inicial M₀(x₀, y₀) de la curva integral, una recta M₀M de coeficiente angular f(x₀, y₀) hasta el punto M₁(x₁, y₁) de intersección con la recta x = x₁. La ordenada del punto M₁ se determina por la fórmula  y₁ = y₀ + f(x₀, y₀) (x₁ – x₀).

Se traza, por el punto M₁(x₁, y₁) una recta M₁M₂ de coeficiente angular f(x₁, y₁) hasta el punto M₂(x₂, y₂) de intersección con la recta x = x₂. La ordenada del punto M₂ se determina por la fórmula y₂ = y₁ + f(x₁, y₁) (x₂ – x₁).

Siguiendo este proceso, se determina el punto M₃(x₃, y₃) y sucesivos. Así pues, la ordenada del punto M_n(x_n, y_n) se determina por la fórmula y_n = y_n-1 + f(x_n-1, y_n-1) (x_n – x_n-1).

Los valores aproximados de la solución de la ecuación dada en los puntos x₁, x₂, … ,x_n son y₁, y₂, … ,y_n.

Haciendo la construcción gráfica se obtiene una “quebrada”, denominada precisamente quebrada de Euler, que representa aproximadamente la curva integral que pasa por el punto M₀(x₀, y₀).

Para simplificar los cálculos, se suele dividir el segmento inicial [x₀, b] en partes iguales y se recurre al paso h = x_h – x_h-1. La magnitud de esta h se denomina intervalo de variación del argumento.

Así, cumpliendo ciertas condiciones respecto a la función f(x, y) (revisar el Teorema de Picard-Lindelöf sobre existencia y unicidad de soluciones de EDO), para h → 0 la solución aproximada proporciona la solución exacta de la ecuación que satisface la condición inicial y(x₀) = y₀.

Por tanto, para aplicar este intuitivo método, basta proporcionar un intervalo cerrado y acotado en el que se quiera estudiar la solución, la ecuación diferencial que se quiere aproximar con su condición inicial y el número de partes en las que se quiere dividir el intervalo dado. Hay que tener en cuenta que la precisión del método de Euler no es alta pero, a veces, puede servir como una buena referencia para aplicar otros métodos más modernos y exactos aunque, estos últimos, sí requieren tener conocimientos sobre las ecuaciones diferenciales. Exhorto al lector a aplicarlo a algún ejemplo sencillo, se sorprenderá de la simpleza y eficacia del método del gran Euler.

Un "Sencillo" Dibujo

   El teorema de la Curva de Jordan es importante, es bello, y es entendible incluso si no se poseen conocimientos matemáticos profundos. Dice así: "toda curva de Jordan C del plano (esto es, un subconjunto del plano homeomorfo (matemáticamente igual) al círculo), lo divide en, exactamente, dos componentes conexas, una acotada y la otra no acotada, cuya frontera común es la curva C."
   La clave principal de la demostración de este teorema, la cual es larga y técnica salvo si se usan las teorías de homología y homotopía, es el siguiente resultado que, si se dibuja, hasta un niño de corta edad lo puede entender sin dificultades. El enunciado riguroso es el siguiente:
"Sea X = [a,b] x [c,d] y sean g, h : [-1,1] -> X aplicaciones continuas. Sean p1 : X -> [a,b] y p2 : X-> [c,d] las proyecciones a los factores y supongamos que p1(g(-1)) = a, p1(g(1)) = b, p2(h(-1)) = c, p2(h(1)) = d. Entonces g([-1,1]) y h([-1,1]) tienen elementos en común {*}, al menos uno (es decir, su intersección es no vacía)." Intuitivamente es claro: en un rectángulo del plano, toda línea que va desde el borde superior hasta el borde inferior de forma continua, siempre corta a toda línea continua que va desde el borde izquierdo al borde derecho. Se puede ilustrar con el siguiente "sencillo" dibujo:

Así visto, parece muy sencillo probar pero esta simplicidad geométrica requiere complejidad analítica y algunos conocimientos avanzados. pongámosla en la pantalla:
   Supongamos, por el contrario, que g([-1,1]) y h([-1,1]) no tienen elementos en común, esto es, que su intersección es vacía. Se define N(s,t) = Sup{|p1(g(s)) - p1(h(t))|, |p2(g(s)) - p2(h(t))|}, para todos s y t en [-1,1]. N(s,t) no es cero para todos s y t en [-1,1] porque si para algún punto (s,t) de [-1,1] x [-1,1], fuera N(s,t) = 0, como está definido como el supremo de dos cantidades positivas (por estar ambas en valor absoluto), entonces ambas han de ser cero, luego |p1(g(s)) - p1(h(t))| = |p2(g(s)) - p2(h(t))| = 0, y por tanto, g(s) = h(t), lo cual se está suponiendo que no ocurre. Hay que tener en cuenta que N es una función continua por ser el máximo de dos funciones continuas.
   Se define F : [-1,1] x [-1,1] -> [-1,1] x [-1,1] como F(s,t) = ( [p1(h(t))-p1(g(s))]/N(s,t) , [p2(g(s))-p2(h(t))]/N(s,t) ), para todos s y t en el intervalo [-1,1]. La función F así definida es continua por ser cada componente cocientes de funciones continuas y, por la construcción de N, una de las componentes de F vale +1 ó -1, es decir, F([-1,1] x [-1,1]) está incluido en el conjunto Frontera del producto cartesiano de los intervalos, es decir, incluido en Fr([-1,1] x [-1,1]).
   Como [-1,1] x [-1,1] es homeomorfo a la bola cerrada de centro 0 y radio 1 y el homeomorfismo lleva Fr([-1,1] x [-1,1]) en S1, por el teorema del punto fijo de Brouwer (este es uno de los muchos teoremas de punto fijo), existe (s,t) en [-1,1] x [-1,1] tal que F(s,t) = (s,t), pero como F(s,t) está en Fr([-1,1] x [-1,1]), debe ser |s| =1 ó |t| = 1, es decir, 4 casos: s = 1, s = -1, t = 1, t = -1. Se hará a continuación uno de ellos y los demás son similares.
   Si s = 1, F(1,t) = (1,t) por lo que 1 = [p1(h(t))-p1(g(1))]/N(1,t) = [p1(h(t))-b]/N(1,t), pero p1(h(t)) es menor o igual a b, luego la diferencia es negativa y así [p1(h(t))-b]/N(1,t) es menor o igual que 0, lo que es una contradicción. Análogamente se hacen los otros 3 casos, con lo que se llega a contradecir la hipótesis inicial, por lo que se cumple lo enunciado en {*}.

Un curioso y simple dibujo que entraña complejidad y técnica para niños y no tan niños.