"El número. El descubrimiento de las leyes numéricas se hizo basándose en el error, que ya imperaba originariamente, de que hay muchas cosas idénticas (aunque de hecho no haya nada idéntico) o, al menos, de que existen cosas (aunque no existan 'cosas'). La mera noción de pluralidad supone que hay algo que se presenta repetidas veces; y aquí precisamente se da ya el error, pues estamos imaginando entidades y unidades inexistentes. Nuestras percepciones del tiempo y del espacio son falsas porque, si las examinamos consecuentemente, conducen a contradicciones lógicas. En todas las afirmaciones científicas utilizamos inevitablemente dimensiones falsas pero, como estas dimensiones son por lo menos constantes (como nuestra percepción del tiempo y del espacio, por ejemplo), no por eso dejan de ser totalmente exactos y seguros los resultados científicos en sus relaciones mútuas; podemos seguir utilizándolos hasta llegar a ese punto final en el que los supuestos fundamentales erróneos, esos errores constantes, entran en contradicción con los resultados, como en la teoría atómica, por ejemplo. Entonces nos vemos obligados a aceptar una 'cosa' o un 'sustrato' material, que recibe el movimiento, mientras que en todo el procedimiento científico se ha impuesto precisamente la tarea de reducir a movimiento todo lo que tiene un carácter de cosa (lo material); también aquí separamos con nuestra sensación el motor y lo movido, sin salirnos de ese círculo, pues la creencia en cosas se encuentra incorporada a nuestro ser desde la antigüedad. Cuando Kant dijo: "la razón no recibe sus leyes de la naturaleza, si no que se las prescribe a ésta", afirmó algo totalmente cierto respecto al concepto de naturaleza, que estamos obligados a ligar a aquella (naturaleza-mundo como representación, es decir, como error), pero que es la suma total de una multitud de errores de la inteligencia. A un mundo que no fuese una representación nuestra, no se le podrían aplicar enteramente las leyes numéricas: éstas sólo sirven en el terreno humano."
Nietszche, `Humano, Demasiado Humano´, 1878
Nietszche no es fácil de leer, pues requiere concentración y capacidad de análisis, hechos los dos también requeridos, curiosamente, por el método científico. La reflexión de El Número pertenece al libro referido arriba que engrosa la trilogía, aunque no nombrada como tal, que incluye 'Aurora', 'Humano, Demasiado Humano' y 'El Caminante y Su Sombra', escritos en pocos años y cuyos contenidos son similares, ya que tratan muy brevemente (desde algunos renglones a pocas páginas) sobre multitud de temas y reflexiones de Nietszche al respecto: la moral, la religión, la justicia, la ciencia, la crítica, la autocrítica, el bien, el mal, el perdón, etc. Filósofo polémico pero certero y muy concienzudo en su argumentario, no deja a nadie indiferente, por lo que voy a comentar por encima el párrafo anterior con una breve discusión al respecto.
Nietszche analiza le idea de las leyes de la naturaleza, las leyes físicas, desde el punto de vista del ser humano como ente no completo, por lo que la interpretación de aquellas por este humano son erróneas de base. Nos transmite el error que conlleva la subjetividad propia del ser humano con respecto a algo irracional, puesto que las leyes físicas, numéricas, son universales sean referidas al ser humano o no, es decir, están ahí sin que ningún ser vivo pueda intervenir para interpretarlas a su libre albedrío, esto es, la objetividad de las leyes de la naturaleza, ya que son inalterables por el hombre. Esto contradice lo expuesto por Nietszche, obviamente, pero él mismo deja entrever la sutíl ambigüedad de sus razonamientos al constatar que las percepciones del ser humano del espacio y del tiempo son falsas. A su favor diré que este escrito es de finales del siglo XIX y que no fue hasta principios del siglo XX cuando no se removieron los cimientos de la ciencia física con la teoría de la relatividad de Einstein, por lo que podemos dar un respiro al bueno de Nietszche.
Añade el concepto de punto material al que se le aplican teóricamente las leyes físicas que nos gobiernan, como algo sin valor pero con todo el valor (afirma que una 'cosa' material recibe únicamente el movimiento y que todo movimiento va a parar a una 'cosa' material) pero a su vez afirma separar "el motor de lo movido". Aquí incluye la razón, propia exclusivamente del ser humano, ser que, afirma, es erróneo en sí mismo, por lo que está queriendo introducir subjetividades en objetividades, argumento que no se debe emplear en el método científico, por tanto, en las leyer físicas. Además, reafirma a Kant y ensalza la razón por encima de todas las cosas habidas y por haber y ve la representación de la naturaleza como algo erróneo, concepto que viene de la apreciación de la naturaleza por parte del ser humano, es decir, de la visión de las cosas. Muy acertadamente, nombra la teoría atómica, comenzando en esas décadas, donde se demostró que las leyes macroscópicas no necesariamente se verifican en el contexto atómico y pone a esa teoría como ejemplo de claro error entre las hipótesis de partida y los resultados finales.
Más de 100 años después, la ciencia ha avanzado tanto que ya no se interpretan las leyes físicas que rigen el universo, porque se sabe que son objetivas, sin influencias externas, llámense propias del hombre, como afirma Nietszche. De hecho, su última frase de El Número es, hoy en día, claramente falsa y si Nietszche viviera en la actualidad, probablemente no la habría escrito.
sábado, 7 de julio de 2018
domingo, 1 de julio de 2018
Números Excepcionales II
Número áureo: También llamado la "divina proporción" o el "número de la belleza". Se representa con la letra $\varphi$ y es un número irracional, es decir, no es un cociente de dos número enteros. Su valor es, aproximadamente $$\varphi=\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}\approx1.6180339...$$ y proviene de la relación entre dos segmentos a y b (con a más largo que b) de una recta como construcción geométrica, es decir, $$\frac{(a+b)}{a}=\frac{a}{b} \, \Rightarrow \, 1+\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$$ Si llamamos $$\varphi=\frac{a}{b} \, \Rightarrow \, 1+\varphi^{-1}=\varphi \, \Rightarrow \,\varphi^{2} -\varphi-1=0$$ ecuación cuadrática con soluciones $$\frac{1+\sqrt[]{5}}{2} \,\,\textrm{y} \,\, \frac{1-\sqrt[]{5}}{2}$$ siendo el Número Aureo la raíz positiva.
Se encuentra en la naturaleza en una gran variedad de situaciones así como en todas las figuras geométricas en las que intervenga una forma pentagonal y, como curiosidad, $$\varphi^{2}=2,61803398874988...$$ tiene las mismas infinitas cifras decimales que $$\frac{1}{\varphi}=0,61803398874988...$$
Fue ampliamente utilizado por artistas clásicos como Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci en sus esculturas y pinturas. Pero, de hecho, el dibujo de Da Vinci conocido como "el hombre de Vitruvio" no posee las proporciones áureas perfectas si no las proporciones fraccionarias perfectas, al contrario de lo que se cree. Se piensa que el ideal de belleza del ser humano tendría las proporciones áureas en su cuerpo: en la cabeza, en los brazos, en las peirnas y en el tronco. También se encuentra en la música clásica de Mozart y Beethoven, entre otros. Un número excepcional, no cabe duda.
Constante de Hubble: Llamada así en honor al astrónomo Hubble y a sus descubrimientos a principios del siglo XX. De forma muy básica, es una medida de cómo se expande el Universo. Es una constante de proporcionalidad pero no es un número fijo en sí porque tiene leves variaciones por lo que se le considera más bien un parámetro. En la actualidad, se puede asegurar que este parámetro se encuentra entre 50 y 100 (km/s)/Mpc, es decir, una velocidad (kilómetros cada segundo) en una distancia (Mega Parsec), por tanto, una aceleración. Hasta hace tan solo 2 décadas no se ha podido ir afinando ese valor resultando entre 70 y 75, siempre con pequeñas variaciones arriba y abajo de esos valores, siendo el último de hace apenas 15 años que lo sitúan en 77 con un posible margen de ± 0.15. Un número muy esquivo e interesante, sin duda. Según sea este valor, se define la edad del Universo, de ahí su importancia porque para un resultado de 70, dicha edad se sitúa en 14000 millones de años pero para un valor de 71, la edad del Universo es de 13800 millones de años.
Aunque pueda parecer que la edad del Universo varía muy poco, es de vital importancia aproximarse lo máximo posible a ese valor porque es clave en el estudio de galaxias lejanas y en el estudio del comportamiento de la radiación de fondo, el comportamiento de las ondas gravitacionales, la creación de los agujeros negros, etc, de ahí que se pretenda establecer con la máxima exactitud el valor de esa constante de Hubble.
Constante de Planck: es el número más importante de la mecánica cuántica, la base de la física moderna. Es el número que liga la energía de un fotón y la frecuencia de su onda electromagnética a través de la relación $$E=hf$$donde $$h=6,62607x10^{-34} \,\, \textrm{Julios x segundo}$$ que equivale a $$4,135667x10^{-15} \,\, \textrm{Ev x segundo}$$
Es un valor increiblemente pequeño debido a que trabaja a escala atómica. A partir de este descubrimiento a finales del siglo XIX, cambió por completo el entendimiento de las leyes físicas y permitió a Einstein desarrollar su teoría sobre el efecto fotoeléctrico (Nobel de física en 1921), desarrollar los modelos atómicos o implantar el Principio de Incertidumbre de Eisenberg, todos ellos a principios del siglo XX, en los que la constante de Plank es fundamental. Destacar que el Principio de Heisenberg se ha puesto en práctica recientemente en el CERN al colisionar protones a una velocidad próxima a la de la luz.
Velocidad de la luz: La velocidad de la luz en el vacío es la constante c=299792458 m/s y se usa, principalmente, en las telecomunicaciones actuales y para definir la medida de longitud usual en las distancias en el Universo, el año-luz. Nada, absolutamente nada en el Universo, se puede desplazar más rápido que esa velocidad, aunque este extremo está en estudio bajo condiciones muy específicas. La fórmula de Einstein de la Relatividad $$E=mc^{2}$$ depende estrechamente de esta constante. A partir de 1983, se define el metro a partir de la velocidad de la luz, de ahí su excepcionalidad e importancia. Es en esa fecha cuando su valor es fijado de forma constante, indiscutible y sin errores (hasta entonces, había un pequeño margen de error respecto a un valor dado). Su mayor característica es que es un valor constante sea cual sea el marco de referencia en el que se incluya, lo que le confiere una seguridad en su uso apabullante frente a otras constantes físicas.
Área del conjunto fractal de Mandelbrot: A principios de los años 80, el francés Benoit Mandelbrot fijó las bases de una rama desconocida de las matemáticas: la geometría fractal. De esta geometría, su máximo representante es el conjunto de Mandelbrot, que se define de forma recursiva en el plano de los números Complejos. Este conjunto es muy curioso y tiene una característica muy importante, como todos los fractales, que es la autosemejanza, esto es, es (casi) invariable con relación a su escala. Así, una misma parte del conjunto aparece a cualquier escala del conjunto al ir acercándonos a su borde. Este hecho impide que el conjunto sea conocido en su totalidad y que su área sea un valor conjeturado, es decir, un valor intuido y no demostrado. Dicho valor es 1,5065918849 ± 0,0000000028 (ese error impide dar el valor como válido) y se cree que el valor exacto depende esencialmente de dos viejos conocidos de esta lista de números excepcionales: los números π y e, y es $$\sqrt[]{6\pi}-e=1,506591651...$$
Constante del sofá: es un número desconocido aunque acotado, tal y como les sucede a algunos de esta lista. El llamado "problema del sofá", formulado por el matemático austriaco-canadiense Leo Moser en 1966, es una representación bidimensional de la dificultad en la vida real para desplazar mobiliario. Requiere calcular la forma bidimensional rígida con patas de ancho unitario de mayor área A que se pueda desplazar a través de una zona plana en forma de L. El área A obtenida se conoce como la constante del sofá. El valor exacto de la constante del sofá es un problema abierto, por lo que, más que una constante, es un valor dentro de un intervalo, es decir, tiene cota superior e inferior. Actualmente, el límite inferior tiene un valor de 2.2195 y el superior de 2.8284. Su excepcionalidad proviene de su sentido práctico, ¿verdad?
Punto de Feynman: El Punto de Feynman quizás no debería estar en este listado puesto que no se refiere a un número en sí, si no a las posiciones concretas los decimales del número π en las que sucede algo muy curioso, y son varias. Si esta situación no estuviera en este listado de números excepcionales, tampoco debería estar el infinito pero sí lo incluí en la anterior entrada, dada su importancia en las matemáticas. Ante la duda, el punto de Feynman se queda. Se refiere pues, a los dígitos decimales de π entre las posiciones 762 y 767, que consiste en que el número 9 se repite 6 veces. Puesto que π es un número irracional con una expansión decimal infinita no repetitiva, es posible esperar la existencia de cualquier secuencia de dígitos tarde o temprano. Sin embargo, la temprana aparición de la secuencia tras tan, relativamente, pocas posiciones convierten al punto de Feynman en una curiosidad matemática. El nombre se refiere a un comentario del físico Richard Feynman, en el que dijo que quería memorizar los dígitos de π hasta ese punto, para poder terminar de recitarlos diciendo "...nueve, nueve, nueve, nueve, nueve, nueve, y así en adelante", sugiriendo que π era un número racional. Fascinante.
En comparación, la siguiente secuencia de 6 dígitos decimales repetidos se compone otra vez de nueves, comenzando en la posición 193.034. La siguiente secuencia comienza con el número 8 en la posición 222.299. De los dígitos restantes, el que más tarda en aparecer por sextuplicado es el número 0, en la posición 1.699.927.
El punto de Feynman es también la ocurrencia de cuatro o cinco dígitos idénticos. La siguiente aparición de cuatro números idénticos es del dígito 7 en la posición 1589.
El número 2π (algunas veces referido con la letra griega τ (Tau)) tiene una secuencia de siete números consecutivos de nueves comenzando en la posición 761. En contraste, la primera aparición de siete números consecutivos en π es 3333333 en la posición 710.100.
Constante de la aguja de Buffon: Problema planteado y resuelto a finales del siglo XVIII. El experimento es el siguiente: se trata de lanzar una aguja sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas a una distancia uniforme. Se demuestra que si la distancia entre las rectas en igual a la longitud de la aguja, entonces la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las líneas es 2/π = 0.6366197..., que es la llamada Constante de Buffon. Si la aguja es menor que la distancia entre dos rectas, la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las rectas es 2L/(D x π), siendo L la longitud de la aguja y D la distancia entre las líneas. Para acabar, si la longitud de la aguja es mayor que la distancia entre dos rectas, la fórmula se torna bastante compleja y no merece la pena expresarla aquí.
He probado, aguja y papel en mano, que si D = 5 cm, L = 3 cm, entonces, la probabilidad de que la aguja toque alguna de las líneas es 0.382; si D = L = 5 cm, obtenemos que dicha probabilidad es de 0.637 y si D = 5 cm y L = 10 cm, entonces ese valor se sitúa en 0,837 (en los tres casos he utilizado solo dos decimales para el número π: 3,14).
Su importancia radica, aparte de ser un experimento muy curioso, en que es un método muy fiable para calcular valores del número π aunque extremadamente lento (necesita muchos lanzamientos para ir encontrando nuevos decimales. Con una prueba de 50 lanzamientos se puede obtener una aproximación a π entorno a solo una milésima).
Es un problema probabilístico destacable y sencillo, con unos números interesantes, cuanto menos, que afecta al número π, el más excepcional entre los excepcionales (opinión personal, como ya comenté) y por esa razón he decidido incluir la constante de Buffon en esta lista.
Constante de Euler-Mascheroni: es una constante muy usada en teoría de números y se designa por Gamma, debido a su conexión con la función Gamma que, a su vez está relacionada con la función Beta. También tiene un fuerte vínculo con la función Zeta de Riemann, todas ellas muy importante en la teoría de números, de ahí la importancia y la excepcionalidad de tal número aunque poco o nada conocido su contexto. Su definición formal es engorrosa porque involucra integrales infinitas o series infinitas, y no es cuestión de recargar en exceso esta entrada del blog, pero resaltar que su valor aproximado es de 0,5772156...
Número de Graham: El número finito más grande que se puede construir es g63. Su longitud escapa a cualquier entendimiento posible. Siempre comento que si el infinito existe, números como éste son cero, frase muy difícil de tragar incluso para la mayoría de personas a las que les gustan las matemáticas, ya que, una cosa es ser matemático y otra muy distinta es tener una licenciatura en matemáticas. Hablé extensamente de este número en la entrada El Número de Graham
Se encuentra en la naturaleza en una gran variedad de situaciones así como en todas las figuras geométricas en las que intervenga una forma pentagonal y, como curiosidad, $$\varphi^{2}=2,61803398874988...$$ tiene las mismas infinitas cifras decimales que $$\frac{1}{\varphi}=0,61803398874988...$$
Fue ampliamente utilizado por artistas clásicos como Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci en sus esculturas y pinturas. Pero, de hecho, el dibujo de Da Vinci conocido como "el hombre de Vitruvio" no posee las proporciones áureas perfectas si no las proporciones fraccionarias perfectas, al contrario de lo que se cree. Se piensa que el ideal de belleza del ser humano tendría las proporciones áureas en su cuerpo: en la cabeza, en los brazos, en las peirnas y en el tronco. También se encuentra en la música clásica de Mozart y Beethoven, entre otros. Un número excepcional, no cabe duda.
Constante de Hubble: Llamada así en honor al astrónomo Hubble y a sus descubrimientos a principios del siglo XX. De forma muy básica, es una medida de cómo se expande el Universo. Es una constante de proporcionalidad pero no es un número fijo en sí porque tiene leves variaciones por lo que se le considera más bien un parámetro. En la actualidad, se puede asegurar que este parámetro se encuentra entre 50 y 100 (km/s)/Mpc, es decir, una velocidad (kilómetros cada segundo) en una distancia (Mega Parsec), por tanto, una aceleración. Hasta hace tan solo 2 décadas no se ha podido ir afinando ese valor resultando entre 70 y 75, siempre con pequeñas variaciones arriba y abajo de esos valores, siendo el último de hace apenas 15 años que lo sitúan en 77 con un posible margen de ± 0.15. Un número muy esquivo e interesante, sin duda. Según sea este valor, se define la edad del Universo, de ahí su importancia porque para un resultado de 70, dicha edad se sitúa en 14000 millones de años pero para un valor de 71, la edad del Universo es de 13800 millones de años.
Aunque pueda parecer que la edad del Universo varía muy poco, es de vital importancia aproximarse lo máximo posible a ese valor porque es clave en el estudio de galaxias lejanas y en el estudio del comportamiento de la radiación de fondo, el comportamiento de las ondas gravitacionales, la creación de los agujeros negros, etc, de ahí que se pretenda establecer con la máxima exactitud el valor de esa constante de Hubble.
Constante de Planck: es el número más importante de la mecánica cuántica, la base de la física moderna. Es el número que liga la energía de un fotón y la frecuencia de su onda electromagnética a través de la relación $$E=hf$$donde $$h=6,62607x10^{-34} \,\, \textrm{Julios x segundo}$$ que equivale a $$4,135667x10^{-15} \,\, \textrm{Ev x segundo}$$
Es un valor increiblemente pequeño debido a que trabaja a escala atómica. A partir de este descubrimiento a finales del siglo XIX, cambió por completo el entendimiento de las leyes físicas y permitió a Einstein desarrollar su teoría sobre el efecto fotoeléctrico (Nobel de física en 1921), desarrollar los modelos atómicos o implantar el Principio de Incertidumbre de Eisenberg, todos ellos a principios del siglo XX, en los que la constante de Plank es fundamental. Destacar que el Principio de Heisenberg se ha puesto en práctica recientemente en el CERN al colisionar protones a una velocidad próxima a la de la luz.
Velocidad de la luz: La velocidad de la luz en el vacío es la constante c=299792458 m/s y se usa, principalmente, en las telecomunicaciones actuales y para definir la medida de longitud usual en las distancias en el Universo, el año-luz. Nada, absolutamente nada en el Universo, se puede desplazar más rápido que esa velocidad, aunque este extremo está en estudio bajo condiciones muy específicas. La fórmula de Einstein de la Relatividad $$E=mc^{2}$$ depende estrechamente de esta constante. A partir de 1983, se define el metro a partir de la velocidad de la luz, de ahí su excepcionalidad e importancia. Es en esa fecha cuando su valor es fijado de forma constante, indiscutible y sin errores (hasta entonces, había un pequeño margen de error respecto a un valor dado). Su mayor característica es que es un valor constante sea cual sea el marco de referencia en el que se incluya, lo que le confiere una seguridad en su uso apabullante frente a otras constantes físicas.
Área del conjunto fractal de Mandelbrot: A principios de los años 80, el francés Benoit Mandelbrot fijó las bases de una rama desconocida de las matemáticas: la geometría fractal. De esta geometría, su máximo representante es el conjunto de Mandelbrot, que se define de forma recursiva en el plano de los números Complejos. Este conjunto es muy curioso y tiene una característica muy importante, como todos los fractales, que es la autosemejanza, esto es, es (casi) invariable con relación a su escala. Así, una misma parte del conjunto aparece a cualquier escala del conjunto al ir acercándonos a su borde. Este hecho impide que el conjunto sea conocido en su totalidad y que su área sea un valor conjeturado, es decir, un valor intuido y no demostrado. Dicho valor es 1,5065918849 ± 0,0000000028 (ese error impide dar el valor como válido) y se cree que el valor exacto depende esencialmente de dos viejos conocidos de esta lista de números excepcionales: los números π y e, y es $$\sqrt[]{6\pi}-e=1,506591651...$$
Constante del sofá: es un número desconocido aunque acotado, tal y como les sucede a algunos de esta lista. El llamado "problema del sofá", formulado por el matemático austriaco-canadiense Leo Moser en 1966, es una representación bidimensional de la dificultad en la vida real para desplazar mobiliario. Requiere calcular la forma bidimensional rígida con patas de ancho unitario de mayor área A que se pueda desplazar a través de una zona plana en forma de L. El área A obtenida se conoce como la constante del sofá. El valor exacto de la constante del sofá es un problema abierto, por lo que, más que una constante, es un valor dentro de un intervalo, es decir, tiene cota superior e inferior. Actualmente, el límite inferior tiene un valor de 2.2195 y el superior de 2.8284. Su excepcionalidad proviene de su sentido práctico, ¿verdad?
Punto de Feynman: El Punto de Feynman quizás no debería estar en este listado puesto que no se refiere a un número en sí, si no a las posiciones concretas los decimales del número π en las que sucede algo muy curioso, y son varias. Si esta situación no estuviera en este listado de números excepcionales, tampoco debería estar el infinito pero sí lo incluí en la anterior entrada, dada su importancia en las matemáticas. Ante la duda, el punto de Feynman se queda. Se refiere pues, a los dígitos decimales de π entre las posiciones 762 y 767, que consiste en que el número 9 se repite 6 veces. Puesto que π es un número irracional con una expansión decimal infinita no repetitiva, es posible esperar la existencia de cualquier secuencia de dígitos tarde o temprano. Sin embargo, la temprana aparición de la secuencia tras tan, relativamente, pocas posiciones convierten al punto de Feynman en una curiosidad matemática. El nombre se refiere a un comentario del físico Richard Feynman, en el que dijo que quería memorizar los dígitos de π hasta ese punto, para poder terminar de recitarlos diciendo "...nueve, nueve, nueve, nueve, nueve, nueve, y así en adelante", sugiriendo que π era un número racional. Fascinante.
En comparación, la siguiente secuencia de 6 dígitos decimales repetidos se compone otra vez de nueves, comenzando en la posición 193.034. La siguiente secuencia comienza con el número 8 en la posición 222.299. De los dígitos restantes, el que más tarda en aparecer por sextuplicado es el número 0, en la posición 1.699.927.
El punto de Feynman es también la ocurrencia de cuatro o cinco dígitos idénticos. La siguiente aparición de cuatro números idénticos es del dígito 7 en la posición 1589.
El número 2π (algunas veces referido con la letra griega τ (Tau)) tiene una secuencia de siete números consecutivos de nueves comenzando en la posición 761. En contraste, la primera aparición de siete números consecutivos en π es 3333333 en la posición 710.100.
Constante de la aguja de Buffon: Problema planteado y resuelto a finales del siglo XVIII. El experimento es el siguiente: se trata de lanzar una aguja sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas a una distancia uniforme. Se demuestra que si la distancia entre las rectas en igual a la longitud de la aguja, entonces la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las líneas es 2/π = 0.6366197..., que es la llamada Constante de Buffon. Si la aguja es menor que la distancia entre dos rectas, la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las rectas es 2L/(D x π), siendo L la longitud de la aguja y D la distancia entre las líneas. Para acabar, si la longitud de la aguja es mayor que la distancia entre dos rectas, la fórmula se torna bastante compleja y no merece la pena expresarla aquí.
He probado, aguja y papel en mano, que si D = 5 cm, L = 3 cm, entonces, la probabilidad de que la aguja toque alguna de las líneas es 0.382; si D = L = 5 cm, obtenemos que dicha probabilidad es de 0.637 y si D = 5 cm y L = 10 cm, entonces ese valor se sitúa en 0,837 (en los tres casos he utilizado solo dos decimales para el número π: 3,14).
Su importancia radica, aparte de ser un experimento muy curioso, en que es un método muy fiable para calcular valores del número π aunque extremadamente lento (necesita muchos lanzamientos para ir encontrando nuevos decimales. Con una prueba de 50 lanzamientos se puede obtener una aproximación a π entorno a solo una milésima).
Es un problema probabilístico destacable y sencillo, con unos números interesantes, cuanto menos, que afecta al número π, el más excepcional entre los excepcionales (opinión personal, como ya comenté) y por esa razón he decidido incluir la constante de Buffon en esta lista.
Constante de Euler-Mascheroni: es una constante muy usada en teoría de números y se designa por Gamma, debido a su conexión con la función Gamma que, a su vez está relacionada con la función Beta. También tiene un fuerte vínculo con la función Zeta de Riemann, todas ellas muy importante en la teoría de números, de ahí la importancia y la excepcionalidad de tal número aunque poco o nada conocido su contexto. Su definición formal es engorrosa porque involucra integrales infinitas o series infinitas, y no es cuestión de recargar en exceso esta entrada del blog, pero resaltar que su valor aproximado es de 0,5772156...
Número de Graham: El número finito más grande que se puede construir es g63. Su longitud escapa a cualquier entendimiento posible. Siempre comento que si el infinito existe, números como éste son cero, frase muy difícil de tragar incluso para la mayoría de personas a las que les gustan las matemáticas, ya que, una cosa es ser matemático y otra muy distinta es tener una licenciatura en matemáticas. Hablé extensamente de este número en la entrada El Número de Graham
jueves, 28 de junio de 2018
Números Excepcionales I
En esta entrada y en la posterior, quiero fijar la atención en algunos números que considero excepcionales por su rareza e importancia y explicaré, muy brevemente, algunas de las razones (siempre objetivas aunque con un toque subjetivo) que me llevan a nombrarlos. He seleccionado 20, 10 para cada entrada para no hacer una sola muy extensa. Hay más números raros y excepcionales, obviamente, pero esta es mi elección. Todos salvo uno, que ni siquiera considero que sea un número porque no lo es, son finitos y construibles, aunque algunos con un grado de dificultad extremo, debido (algunos de ellos) al innombrable no-número. Solamente hablaré de números en la base habitual, la decimal, por ser la más extendida y sencilla de comprender, aunque también los hay raros y excepcionales en otros sistemas de numeración. Trataré de escribir las menos fórmulas posibles.
0: Toda la humanidad sabe qué es el número cero y lo que representa pero muy pocas personas han observado que es un número tan extremadamente importante como raro, por el hecho principal de que es un número pero no una cifra (el único número que cumple este extremo) y que, dependiendo el lugar que ocupe en otros números, cambia absolutamente el valor de dicho número, y todo ello a pesar de no tener valor. Como definición sencilla, se podría decir que se caracteriza por siempre ser representado como cualquier número más su opuesto (aditivo, x + (- x) = 0). Apareció por primera vez en el siglo III AC y tuvo un nacimiento convulso aunque con anterioridad, los Mayas ya lo conocían y lo usaban de una forma curiosa como describo en el enlace Sistema Vigesimal: La Fascinante Numeración Maya. Cualquier número real dividido entre cero nos da lo que tan poco me gusta: el no-número, infinito.
Infinito (el innombrable no-número): De entrada, hay que resaltar que infinito no es un número al uso, es un ente matemático que no existe, es inventado, creado para representar algo a lo que no se puede llegar, algo inaccesible, algo intangible. Se define formalmente como lo que no es finito, una definición negativa que niega un concepto puro como es lo finito, por lo que el concepto de infinito ni siquiera se puede definir con rigor (no así, por ejemplo, la definición de conjunto conexo, que sí es una definición rigurosa pese a ser una definición negativa: se dice que un conjunto es conexo si no existen dos subconjuntos suyos no vacíos tales que...). En la naturaleza y en el universo no existe tal y como se define, no es posible su existencia. Ni siquiera en la pregunta ¿es el universo infinito? El ser humano nunca podrá responder a semejante dilema porque debería suceder que el hombre exista una infinitud de tiempo. La existencia matemática del infinito es debida al hereje e infame Axioma de Elección en la axiomática ZFC (Zermelo-Fraenkel-Choice). Traté este punto en la entrada Un Poco de Infinito
Pi: En mi opinión personal, es el número más importante de la ciencia y tiene unas propiedades muy curiosas y excepcionales, tal y como expliqué en la primera entrada de este blog, Si Dios Existe Se Llama Pi, que recomiendo revisar, por tanto, no añadiré más aquí. Cabe destacar que es la constante con mayor importancia de la geometría. Existe una relación muy íntima entre el número π y el siguiente de esta lista, el número e.
e: es la constante de mayor importancia del cálculo y el análisis matemático. Se relaciona íntimamente con el número π mediante la fórmula $$\pi^{4} + \pi^{5} \approx e^{6}$$ con un error < 0.000005%. Es un número relativamente reciente que data del siglo XVII, a pesar de su enorme importancia. Considero que es un número raro porque no destaca con respecto a otros números fuera del cálculo diferencial o la probabilidad, ramas de la ciencia que desconocían los clásicos o los científicos hasta hace 4 siglos. Como características más importantes destacan que es un número irracional, es decir, no es el cociente de dos números enteros (probado a mediados del siglo XVIII) y que es un número trascendente, es decir, no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros, al igual que el número π. La gran importancia de este último resultado, probado recientemente (finales del siglo XIX) radica en que el número e fue el primer número que se demostró su trascendencia sin haberlo construido especialmente para dicha demostración, lo cual le confiere una gran rareza, a mi modo de ver. Se puede representar de muchas formas pero siempre involucrando límites infinitos o series infinitas, por desgracia.
Existen algunas cuestiones sin solución, hasta ahora, que involucran al número π y al número e como el hecho de no saber si e^e (e elevado a él mismo) es o no trascendente, π + e ó π x e son números racionales.
i Unidad imaginaria: representa la raíz cuadrada de -1 y es el número que da pie a los números Complejos como una extensión de los números Reales (la raíz cuadrada de los números negativos no existe en los números reales). Creo que es realmente raro precisamente por la frase anterior: la construcción de la raíz cuadrada de un número real es un proceso engorroso pero de máxima fuerza, es decir, todos y cada uno de los pasos seguidos se realizan con simples sumas, restas y multiplicaciones de números reales pero que, cuando se tratan con números reales negativos, ofrecen... contradicciones que hacen que esa construcción de la raíz cuadrada de un número negativo no de ningún resultado satisfactorio, es decir, que no se obtenga ningún número real ya que produce un error. Es la constante más importante del análisis complejo y del álgebra. Añadiendo i al cuerpo de los números Reales se obtiene el cuerpo de los números complejos que es el cuerpo algebráicamente cerrado más pequño (algebráicamente cerrado significa que los polinomios con coeficientes en ese cuerpo tienen todas sus raíces en ese cuerpo). Se destaparon sus virtudes y desarrollo a partir del siglo XVI. Tiene una gran importancia en las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, en electrónica y en mecánica cuántica. Los físicos siempre andan a la gresca con los matemáticos y la constante i está involucrada en estas riñas: ellos prefieren referirse a la unidad imaginaria compleja con la letra j, ya que la letra i la utilizan para la intensidad de corriente. Cosas de los físicos.
Las constantes anteriores están relacionadas por la fórmula más importante y bella de las matemáticas: la fórmula de Euler $$e^{i\pi} +1 = 0 \,\,\,\, \textrm{donde} \,\,\, i=\sqrt[]{-1}$$
142857: este sencillo número natural es muy curioso y lo considero excepcional por las siguientes características:
142857 x 3 = 428571, número que tiene los mismos dígitos que el inicial pero con el 1 puesto al final
142857 x 2 = 285714, número que tiene los mismos dígitos que el inicial pero con el 1 y el 4 al final
142857 x 6 = 857142, número que tiene los mismos dígitos que el inicial pero con 1, 4, 2 al final
142857 x 4 = 571428, idem pero con 1, 4, 2, 8 puestos al final
142857 x 5 = 714285, idem pero con 1, 4, 2, 8 y 5 puestos al final
Pero aún hay más:
142857 x 7 = 999999, y 142857 x 8 = 1142856 donde el 7 del final se ha transformado en 1 + 6 y el 1 se ha puesto al inicio y el 6 al final.
Solo se libra de estas curiosidades el producto 142857 x 9, para acabar con las multiplicaciones por los números de menos de 2 cifras, cuyo resultado es 1285713, que nada tiene que ver con los productos anteriores.
Y si nos fijamos en el 7, resulta que su inverso multiplicativo, 1 / 7 = 0,1428571428... posee el número 142857 en sus primeras cifras decimales
Constante de Conway: es un número que relaciona los números con el lenguaje humano. Es la constante de la tasa de crecimiento del número de cifras de la sucesión conocida como "desintegración audioactiva" en la que cada término se obtiene agrupando las cifras iguales del anterior y recitándolas. Que este mecanismo tan curioso y excepcional desemboque en una constante indica su extremada rareza. Dicha constante es 1,303577269, independientemente del término inicial de la sucesión salvo el 22. El siguiente ejemplo ilustra el proceso:
Por ejemplo, si x0 = 1 (se lee, 'un uno'), los siguientes términos serán
x1 = 11 (dos unos -> 21)
x2 = 21 (un dos y un uno -> 1211)
x3 = 1211 (un uno, un dos y dos unos -> 111221)
x4 = 111221 (tres unos, dos doses, un uno -> 312211)
y sucesivamente
Con x0 = 22 no funciona porque se lee 'dos doses', por lo que x1 = 22 y se repite el proceso invariablemente con los mismos números.
Esta sucesión es divergente y la diferencia entre cada dos posiciones, sean las que sean, converge al número mencionado anteriormente (salvo que el término inicial sea el 22, como ya he comentado). Como curiosidad (¡¡por si no fuera bastante curioso lo anterior!!), la constante de Conway es la única solución real positiva de una ecuación de grado 71, que no escribiré por ser larga y poco agraciada. Para rizar el rizo, el método de construcción de la sucesión anterior está íntimamente ligado a la tabla periódica de los elementos químicos tomando como base el hidrógeno, al que se le asigna la sucesión constante anterior que comienza con x0 = 22. Por todo lo expuesto, la rareza de la constante de Conway es absolutamente extrema.
Gugol: es el número 10^100, 10 elevado a la potencia 100, es decir, un 1 seguido de 100 ceros. También tiene nombre el número 10^gugol, 10 elevado un Gugol, llamado Gugolplex, es decir, un 1 seguido de un Gugol de ceros. Esos números nacieron de la mente de un niño. El Gugol no tiene importancia matemática más allá de ilustrar un número excepcionalmente grande (ni el número de átomos de hidrógeno en el universo llega a esa cifra) y el concepto de infinitud (expuesto anteriormente). Sin el uso de ordenadores, es un número que no se puede manejar pero tiene nombre propio y eso le confiere una bella rareza y excepcionalidad. El nombre de la empresa Google está basado en el Gugol y viene a representar la monstruosa cantidad de información a la que se puede acceder desde su buscador, en comparación con la enormidad que representa el número 10^100.
125,5 GeV (masa del bosón de Higgs): Es el único número de esta serie que posee unidades (Giga electrón-Voltios) y la existencia del bosón de Higgs se teorizó hace más de 4 décadas y, actualmente en el CERN, se ha podido demostrar que existe realmente pero su masa no ha sido fácil de cifrar. De hecho, el valor 125,5 es el valor medio de un intervalo en el que se sabe que se encuentra con una fiabilidad del 95%, es decir, con un error del 5%. Su excepcionalidad recae en el hecho de no ser directamente construible (la masa del bosón) ya que se fue acotando poco a poco y descartando otros valores, todo ello con gran complejidad debido al hecho de que el bosón de Higgs es tremendamente esquivo y de una vida media exageradamente corta (del orden de 10^(-22) segundos). Existe amplísima información en internet sobre este ente tan importante para la ciencia, por lo que no explicaré aquí más cosas sobre él.
73: Este número es mi año de nacimiento pero, aparte de esta anécdota, tiene unas propiedades curiosas y raras, por lo que lo incluyo en esta lista, como por ejemplo que es el primo número 21, que es el resultado de 7x3, y 73 leído al reves, 37, es el primo número 12 (que es 21 al revés). En el sistema binario 73 es 1001001 capicúo, se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, y en el sistema de base 8, 73 es 111, también capicúo. Además, en código morse es --... ...--, capicúo, que se utilizaba para sustituir la forma coloquial 'atentamente' al final de los telegramas. Además, 37+12=49=7^2 y 7^3=343 capicúo.
0: Toda la humanidad sabe qué es el número cero y lo que representa pero muy pocas personas han observado que es un número tan extremadamente importante como raro, por el hecho principal de que es un número pero no una cifra (el único número que cumple este extremo) y que, dependiendo el lugar que ocupe en otros números, cambia absolutamente el valor de dicho número, y todo ello a pesar de no tener valor. Como definición sencilla, se podría decir que se caracteriza por siempre ser representado como cualquier número más su opuesto (aditivo, x + (- x) = 0). Apareció por primera vez en el siglo III AC y tuvo un nacimiento convulso aunque con anterioridad, los Mayas ya lo conocían y lo usaban de una forma curiosa como describo en el enlace Sistema Vigesimal: La Fascinante Numeración Maya. Cualquier número real dividido entre cero nos da lo que tan poco me gusta: el no-número, infinito.
Infinito (el innombrable no-número): De entrada, hay que resaltar que infinito no es un número al uso, es un ente matemático que no existe, es inventado, creado para representar algo a lo que no se puede llegar, algo inaccesible, algo intangible. Se define formalmente como lo que no es finito, una definición negativa que niega un concepto puro como es lo finito, por lo que el concepto de infinito ni siquiera se puede definir con rigor (no así, por ejemplo, la definición de conjunto conexo, que sí es una definición rigurosa pese a ser una definición negativa: se dice que un conjunto es conexo si no existen dos subconjuntos suyos no vacíos tales que...). En la naturaleza y en el universo no existe tal y como se define, no es posible su existencia. Ni siquiera en la pregunta ¿es el universo infinito? El ser humano nunca podrá responder a semejante dilema porque debería suceder que el hombre exista una infinitud de tiempo. La existencia matemática del infinito es debida al hereje e infame Axioma de Elección en la axiomática ZFC (Zermelo-Fraenkel-Choice). Traté este punto en la entrada Un Poco de Infinito
Pi: En mi opinión personal, es el número más importante de la ciencia y tiene unas propiedades muy curiosas y excepcionales, tal y como expliqué en la primera entrada de este blog, Si Dios Existe Se Llama Pi, que recomiendo revisar, por tanto, no añadiré más aquí. Cabe destacar que es la constante con mayor importancia de la geometría. Existe una relación muy íntima entre el número π y el siguiente de esta lista, el número e.
e: es la constante de mayor importancia del cálculo y el análisis matemático. Se relaciona íntimamente con el número π mediante la fórmula $$\pi^{4} + \pi^{5} \approx e^{6}$$ con un error < 0.000005%. Es un número relativamente reciente que data del siglo XVII, a pesar de su enorme importancia. Considero que es un número raro porque no destaca con respecto a otros números fuera del cálculo diferencial o la probabilidad, ramas de la ciencia que desconocían los clásicos o los científicos hasta hace 4 siglos. Como características más importantes destacan que es un número irracional, es decir, no es el cociente de dos números enteros (probado a mediados del siglo XVIII) y que es un número trascendente, es decir, no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros, al igual que el número π. La gran importancia de este último resultado, probado recientemente (finales del siglo XIX) radica en que el número e fue el primer número que se demostró su trascendencia sin haberlo construido especialmente para dicha demostración, lo cual le confiere una gran rareza, a mi modo de ver. Se puede representar de muchas formas pero siempre involucrando límites infinitos o series infinitas, por desgracia.
Existen algunas cuestiones sin solución, hasta ahora, que involucran al número π y al número e como el hecho de no saber si e^e (e elevado a él mismo) es o no trascendente, π + e ó π x e son números racionales.
i Unidad imaginaria: representa la raíz cuadrada de -1 y es el número que da pie a los números Complejos como una extensión de los números Reales (la raíz cuadrada de los números negativos no existe en los números reales). Creo que es realmente raro precisamente por la frase anterior: la construcción de la raíz cuadrada de un número real es un proceso engorroso pero de máxima fuerza, es decir, todos y cada uno de los pasos seguidos se realizan con simples sumas, restas y multiplicaciones de números reales pero que, cuando se tratan con números reales negativos, ofrecen... contradicciones que hacen que esa construcción de la raíz cuadrada de un número negativo no de ningún resultado satisfactorio, es decir, que no se obtenga ningún número real ya que produce un error. Es la constante más importante del análisis complejo y del álgebra. Añadiendo i al cuerpo de los números Reales se obtiene el cuerpo de los números complejos que es el cuerpo algebráicamente cerrado más pequño (algebráicamente cerrado significa que los polinomios con coeficientes en ese cuerpo tienen todas sus raíces en ese cuerpo). Se destaparon sus virtudes y desarrollo a partir del siglo XVI. Tiene una gran importancia en las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, en electrónica y en mecánica cuántica. Los físicos siempre andan a la gresca con los matemáticos y la constante i está involucrada en estas riñas: ellos prefieren referirse a la unidad imaginaria compleja con la letra j, ya que la letra i la utilizan para la intensidad de corriente. Cosas de los físicos.
Las constantes anteriores están relacionadas por la fórmula más importante y bella de las matemáticas: la fórmula de Euler $$e^{i\pi} +1 = 0 \,\,\,\, \textrm{donde} \,\,\, i=\sqrt[]{-1}$$
142857: este sencillo número natural es muy curioso y lo considero excepcional por las siguientes características:
142857 x 3 = 428571, número que tiene los mismos dígitos que el inicial pero con el 1 puesto al final
142857 x 2 = 285714, número que tiene los mismos dígitos que el inicial pero con el 1 y el 4 al final
142857 x 6 = 857142, número que tiene los mismos dígitos que el inicial pero con 1, 4, 2 al final
142857 x 4 = 571428, idem pero con 1, 4, 2, 8 puestos al final
142857 x 5 = 714285, idem pero con 1, 4, 2, 8 y 5 puestos al final
Pero aún hay más:
142857 x 7 = 999999, y 142857 x 8 = 1142856 donde el 7 del final se ha transformado en 1 + 6 y el 1 se ha puesto al inicio y el 6 al final.
Solo se libra de estas curiosidades el producto 142857 x 9, para acabar con las multiplicaciones por los números de menos de 2 cifras, cuyo resultado es 1285713, que nada tiene que ver con los productos anteriores.
Y si nos fijamos en el 7, resulta que su inverso multiplicativo, 1 / 7 = 0,1428571428... posee el número 142857 en sus primeras cifras decimales
Constante de Conway: es un número que relaciona los números con el lenguaje humano. Es la constante de la tasa de crecimiento del número de cifras de la sucesión conocida como "desintegración audioactiva" en la que cada término se obtiene agrupando las cifras iguales del anterior y recitándolas. Que este mecanismo tan curioso y excepcional desemboque en una constante indica su extremada rareza. Dicha constante es 1,303577269, independientemente del término inicial de la sucesión salvo el 22. El siguiente ejemplo ilustra el proceso:
Por ejemplo, si x0 = 1 (se lee, 'un uno'), los siguientes términos serán
x1 = 11 (dos unos -> 21)
x2 = 21 (un dos y un uno -> 1211)
x3 = 1211 (un uno, un dos y dos unos -> 111221)
x4 = 111221 (tres unos, dos doses, un uno -> 312211)
y sucesivamente
Con x0 = 22 no funciona porque se lee 'dos doses', por lo que x1 = 22 y se repite el proceso invariablemente con los mismos números.
Esta sucesión es divergente y la diferencia entre cada dos posiciones, sean las que sean, converge al número mencionado anteriormente (salvo que el término inicial sea el 22, como ya he comentado). Como curiosidad (¡¡por si no fuera bastante curioso lo anterior!!), la constante de Conway es la única solución real positiva de una ecuación de grado 71, que no escribiré por ser larga y poco agraciada. Para rizar el rizo, el método de construcción de la sucesión anterior está íntimamente ligado a la tabla periódica de los elementos químicos tomando como base el hidrógeno, al que se le asigna la sucesión constante anterior que comienza con x0 = 22. Por todo lo expuesto, la rareza de la constante de Conway es absolutamente extrema.
Gugol: es el número 10^100, 10 elevado a la potencia 100, es decir, un 1 seguido de 100 ceros. También tiene nombre el número 10^gugol, 10 elevado un Gugol, llamado Gugolplex, es decir, un 1 seguido de un Gugol de ceros. Esos números nacieron de la mente de un niño. El Gugol no tiene importancia matemática más allá de ilustrar un número excepcionalmente grande (ni el número de átomos de hidrógeno en el universo llega a esa cifra) y el concepto de infinitud (expuesto anteriormente). Sin el uso de ordenadores, es un número que no se puede manejar pero tiene nombre propio y eso le confiere una bella rareza y excepcionalidad. El nombre de la empresa Google está basado en el Gugol y viene a representar la monstruosa cantidad de información a la que se puede acceder desde su buscador, en comparación con la enormidad que representa el número 10^100.
125,5 GeV (masa del bosón de Higgs): Es el único número de esta serie que posee unidades (Giga electrón-Voltios) y la existencia del bosón de Higgs se teorizó hace más de 4 décadas y, actualmente en el CERN, se ha podido demostrar que existe realmente pero su masa no ha sido fácil de cifrar. De hecho, el valor 125,5 es el valor medio de un intervalo en el que se sabe que se encuentra con una fiabilidad del 95%, es decir, con un error del 5%. Su excepcionalidad recae en el hecho de no ser directamente construible (la masa del bosón) ya que se fue acotando poco a poco y descartando otros valores, todo ello con gran complejidad debido al hecho de que el bosón de Higgs es tremendamente esquivo y de una vida media exageradamente corta (del orden de 10^(-22) segundos). Existe amplísima información en internet sobre este ente tan importante para la ciencia, por lo que no explicaré aquí más cosas sobre él.
73: Este número es mi año de nacimiento pero, aparte de esta anécdota, tiene unas propiedades curiosas y raras, por lo que lo incluyo en esta lista, como por ejemplo que es el primo número 21, que es el resultado de 7x3, y 73 leído al reves, 37, es el primo número 12 (que es 21 al revés). En el sistema binario 73 es 1001001 capicúo, se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, y en el sistema de base 8, 73 es 111, también capicúo. Además, en código morse es --... ...--, capicúo, que se utilizaba para sustituir la forma coloquial 'atentamente' al final de los telegramas. Además, 37+12=49=7^2 y 7^3=343 capicúo.
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