Sucesión de Fibonacci y el Número Metálico Más Importante

 

    Leonardo Pisano, más comúnmente conocido como Fibonacci, descubrió la sucesión de números que lleva su nombre a partir del siguiente problema: “¿cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida?” Estableciendo una tabla contando por meses y generaciones de conejos, obtuvo la famosa sucesión descrita por los números naturales 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

 Si dividimos cada término por el anterior se obtiene una aproximación a un número muy particular:

1/1 = 1

2/1 = 2

3/2 =1,5

5/3 = 1,66..

8/5 = 1,6

13/8 = 1,625

21/13 = 1,615384..

   El llamado “número de oro”, Φ (Phi), el número metálico más famoso e importante, es la aproximación final, el límite, de estos cocientes de los términos de la sucesión de Fibonacci dividiendo cada uno por su predecesor. De forma algebraica, el número áureo es la solución positiva de la ecuación x² - px - q = 0 con p = q = 1, y dicha solución positiva es (1 + 5)/2. La ecuación anterior es la que define los “números metálicos” variando los valores de p y q: número de oro, de plata, de bronce, …

El número de oro así definido involucra un número irracional, 5, por lo que Φ también es irracional y se suele aproximar a Φ  1,618, puesto que su importancia en la naturaleza es más geométrica que numérica. Algunas curiosidades de este número son las que aparecen a continuación:

    Como Φ es solución de la ecuación x² - x - 1 = 0, se tiene que Φ² - Φ - 1 = 0, por lo que Φ² = Φ + 1. Si multiplicamos por Φ ambos miembros obtenemos la secuencia:

Φ³ = Φ² + Φ

Φ⁴ = Φ³ + Φ²

Φ⁵ = Φ⁴ + Φ³ …

Por tanto, cualquier potencia de Φ es la suma de las dos potencias anteriores. Y, ¿se puede saber el valor de 1/Φ? Sabemos que Φ² = Φ + 1, por lo que Φ² - Φ = 1 y así (Φ² – Φ)/Φ = 1/Φ y simplificando 1/Φ = Φ – 1.

    Si elegimos dos términos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci y los sumamos, el resultado es múltiplo de 11 (¡¡COMPROBAR!!). Es más, esa suma es 11 veces el término que ocupa el 7º lugar (¡¡COMPROBAR!!)

    Para rizar el rizo, la suma de n términos cualesquiera desde el primero es igual al término que ocupa la posición n + 2 restándole 1 (¡¡COMPROBAR!!).

   Hasta aquí una breve introducción a una sucesión de números que esconde propiedades muy curiosas y un número muy importante históricamente y en las matemáticas.

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¿Estáis Ahí? Paradoja de Fermi Retomada (2017)

    El curioso mundo de las paradojas es fascinante, no cabe duda. Algunas veces he tratado algunas de ellas en este blog, como por ejemplo, la Paradoja del Chocolate Infinito y la Paradoja de las Patatas, la Paradoja de Berry, Paradojas, Paradoja de los Viajes Espaciales o la Paradoja de la Ecuación de Drake y la Teoría de Olduvai. Retomo ahora lo que dejé pendiente justo al final de la última entrada referente a la Paradoja de Fermi, de nombre Enrico, uno de los más grandes físicos de la historia. Bien es cierto, como comenté allí que, en un descanso después de comer mientras trabajaba con otros físicos en el Proyecto Manhattan, ese que consiguió fabricar la bomba nuclear y cuyo director Robert Oppenheimer, después de ver las consecuencias de aquello, se definió a sí mismo como "destructor de mundos", se planteó por parte de Fermi, de modo informal en un principio, el siguiente razonamiento: el Sol es una estrella joven y existen miles de millones de estrellas en nuestra galaxia (así como miles de millones de galaxias en el universo conocido), la mayoría muchos miles de millones de años más viejas y, si la Tierra es un planeta modelo (con lo que algunas de esas estrellas antiguas contienen planetas con vida inteligente) y algunos de estos planetas tienen civilizaciones capaces de realizar viajes interestelares, los extraterrestres deberían haber visitado nuestro planeta e incluso habernos colonizado. Por lo que surge la pregunta, de forma natural, ¿dónde están todos ellos?

   Así pues, según la estimación de Fermi, la probabilidad de que nos visiten los extraterrestres es muy elevada y, sin embargo, no tenemos evidencias de ésto. La existencia de vida extraterrestre se concibió así como un problema difícil de resolver con nuestros conocimientos y nuestra tecnología actual.

   De esta cuestión se derivó el Proyecto Seti y la famosa Ecuación de Drake. En la actualidad existe multitud de información al respecto pero, evidentemente, son especulaciones con más o menos probabilidad de ser ciertas. En aquella entrada del año 2017 concluí, en mi modesta opinión, que existen pocas probabilidades de la existencia de vida extraterrestre inteligente, esa que podría contactar con nosotros aunque con matices. 

   Fermi dio una respuesta a su propia paradoja, quizás influido por la época que le tocó vivir y las cuestiones profesionales en las que estaba inmerso: en caso de existir alguna civilización extraterrestre avanzada capaz de contactarnos, habría sucumbido por autodestrucción, algo que casi le ocurrió a la humanidad (véase la Guerra Fría y el uso de armas nucleares). Hoy en día se opta más bien por la explicación de la falta de recursos pero, son especulaciones, como comenté unas frases más arriba.

   Mi opinión particular al respecto es que quizás, o no existen dichas civilizaciones o, en caso de existir, no hemos sabido contactar con ellas, son las dos opciones con más probabilidades, y las que menos probabilidades, en mi modesta opinión, repito, las teorías de la autodestrucción o la falta de recursos.

   Es una cuestión muy atrayente ésta y todas las opiniones son válidas por ser un problema abierto así que exhorto al lector a que busque información y saque sus propias conclusiones, todas válidas, claro está.