Un "Sencillo" Dibujo

   El teorema de la Curva de Jordan es importante, es bello, y es entendible incluso si no se poseen conocimientos matemáticos profundos. Dice así: "toda curva de Jordan C del plano (esto es, un subconjunto del plano homeomorfo (matemáticamente igual) al círculo), lo divide en, exactamente, dos componentes conexas, una acotada y la otra no acotada, cuya frontera común es la curva C."
   La clave principal de la demostración de este teorema, la cual es larga y técnica salvo si se usan las teorías de homología y homotopía, es el siguiente resultado que, si se dibuja, hasta un niño de corta edad lo puede entender sin dificultades. El enunciado riguroso es el siguiente:
"Sea X = [a,b] x [c,d] y sean g, h : [-1,1] -> X aplicaciones continuas. Sean p1 : X -> [a,b] y p2 : X-> [c,d] las proyecciones a los factores y supongamos que p1(g(-1)) = a, p1(g(1)) = b, p2(h(-1)) = c, p2(h(1)) = d. Entonces g([-1,1]) y h([-1,1]) tienen elementos en común {*}, al menos uno (es decir, su intersección es no vacía)." Intuitivamente es claro: en un rectángulo del plano, toda línea que va desde el borde superior hasta el borde inferior de forma continua, siempre corta a toda línea continua que va desde el borde izquierdo al borde derecho. Se puede ilustrar con el siguiente "sencillo" dibujo:

Así visto, parece muy sencillo probar pero esta simplicidad geométrica requiere complejidad analítica y algunos conocimientos avanzados. pongámosla en la pantalla:
   Supongamos, por el contrario, que g([-1,1]) y h([-1,1]) no tienen elementos en común, esto es, que su intersección es vacía. Se define N(s,t) = Sup{|p1(g(s)) - p1(h(t))|, |p2(g(s)) - p2(h(t))|}, para todos s y t en [-1,1]. N(s,t) no es cero para todos s y t en [-1,1] porque si para algún punto (s,t) de [-1,1] x [-1,1], fuera N(s,t) = 0, como está definido como el supremo de dos cantidades positivas (por estar ambas en valor absoluto), entonces ambas han de ser cero, luego |p1(g(s)) - p1(h(t))| = |p2(g(s)) - p2(h(t))| = 0, y por tanto, g(s) = h(t), lo cual se está suponiendo que no ocurre. Hay que tener en cuenta que N es una función continua por ser el máximo de dos funciones continuas.
   Se define F : [-1,1] x [-1,1] -> [-1,1] x [-1,1] como F(s,t) = ( [p1(h(t))-p1(g(s))]/N(s,t) , [p2(g(s))-p2(h(t))]/N(s,t) ), para todos s y t en el intervalo [-1,1]. La función F así definida es continua por ser cada componente cocientes de funciones continuas y, por la construcción de N, una de las componentes de F vale +1 ó -1, es decir, F([-1,1] x [-1,1]) está incluido en el conjunto Frontera del producto cartesiano de los intervalos, es decir, incluido en Fr([-1,1] x [-1,1]).
   Como [-1,1] x [-1,1] es homeomorfo a la bola cerrada de centro 0 y radio 1 y el homeomorfismo lleva Fr([-1,1] x [-1,1]) en S1, por el teorema del punto fijo de Brouwer (este es uno de los muchos teoremas de punto fijo), existe (s,t) en [-1,1] x [-1,1] tal que F(s,t) = (s,t), pero como F(s,t) está en Fr([-1,1] x [-1,1]), debe ser |s| =1 ó |t| = 1, es decir, 4 casos: s = 1, s = -1, t = 1, t = -1. Se hará a continuación uno de ellos y los demás son similares.
   Si s = 1, F(1,t) = (1,t) por lo que 1 = [p1(h(t))-p1(g(1))]/N(1,t) = [p1(h(t))-b]/N(1,t), pero p1(h(t)) es menor o igual a b, luego la diferencia es negativa y así [p1(h(t))-b]/N(1,t) es menor o igual que 0, lo que es una contradicción. Análogamente se hacen los otros 3 casos, con lo que se llega a contradecir la hipótesis inicial, por lo que se cumple lo enunciado en {*}.

Un curioso y simple dibujo que entraña complejidad y técnica para niños y no tan niños.

El Método Axiomático (Bourbaki)

   Releyendo libros, he encontrado un interesante artículo que comparto en las líneas que siguen. Su autoría se debe a Nicolás Bourbaki que, curiosamente, no es una persona sino el pseudónimo bajo el cual se encuentra un grupo de matemáticos franceses (grupo misterioso, ya que nunca han dado a conocer ni todos sus miembros ni su número exacto), creado a principios del siglo XX para tratar de dar un enfoque nuevo a las bases de las matemáticas. Dicho artículo proviene de su "Teoría de Conjuntos" publicado en el año 1954 y se titula "El método axiomático". Espero se disfrute.
   ""Desde los griegos, quien dice matemáticas dice demostración; algunos ponen en duda incluso, que, fuera de las matemáticas, se encuentren demostraciones en el sentido preciso y riguroso que esta palabra ha recibido de los griegos y que se entiende que se le da aquí. Hay motivos para decir que en ese sentido no ha variado, pues lo que era una demostración para Euclides, lo es siempre para nosotros; y, en las épocas en que la noción amenazó con perderse y, por eso, las matemáticas estuvieron en peligro, se han buscado los modelos en los griegos. Pero, a esta indudable herencia se han añadido, desde hace un siglo, importantes conquistas.
   En efecto, el análisis del mecanismo de las demostraciones en unos textos matemáticos muy escogidos ha permitido deducir su estructura, desde el doble punto de vista del vocabulario y de la síntesis. De este modo, se llega a la conclusión de que un texto matemático bastante explícito podría ser expresado en un lenguaje convencional que sólo llevaría un pequeño número de <palabras> invariables, unidas por una sintaxis que consistiría en un pequeño número de reglas inviolables: semejante texto se llama formalizado. Por ejemplo, la descripción de una partida de ajedrez por medio de la notación usual o una tabla de algoritmos, son textos formalizados; las fórmulas del cálculo algebraico ordinario lo serían también si estuvieran completamente codificadas las reglas que gobiernan el empleo de los paréntesis y hubiera una estrecha conformación a ellos cuando, de hecho, algunas de esas reglas apenas se aprenden más que con el uso y el uso autoriza a hacer algunas derogaciones.
   La verificación de un texto formalizado solo exige una atención, en cierto modo mecánica, siendo las únicas causas posibles de error debidas a la longitud o la composición del texto: por eso, un matemático suele tener confianza en un compañero que le transmita un cálculo algebraico, ya que, por poco que sepa de ese cálculo, no es demasiado largo y está hecho con cuidado. Por el contrario, en un texto no formalizado se está expuesto a las faltas de razonamiento que corren el riesgo de entrañar, por ejemplo, el uso abusivo de la intuición, o el razonamiento por analogía... El método axiomático no es, propiamente hablando, otra cosa que el arte de redactar textos cuya formalización es fácil de conseguir. Eso no es una invención nueva, pero su empleo sistemático como instrumento de descubrimiento es uno de los rasgos originales de las matemáticas contemporáneas.""

Paradoja de los Viajes Espaciales

   La Teoría de la Relatividad Restringida que Einstein estableció en 1905, posee dos principios fundamentales:
1) Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas inerciales. Este postulado generaliza el principio de relatividad de Galileo, el cual era válido solo para experimentos mecánicos.
2) La velocidad de la luz no depende del movimiento de la fuente luminosa. Este es un axioma CLAVE para entender toda la física moderna. Einstein trató de salvar el hecho de que si fuera posible que un observador se moviera con la velocidad de la luz, la velocidad relativa de ésta sería cero.
En sus propias palabras:
""Si yo persigo un haz de luz con velocidad C [velocidad de la luz en el vacío], debería observarlo como un campo electromagnético oscilatorio en reposo.Sin embargo, no ocurre tal cosa sobre la base de la experiencia o de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell [ecuaciones que describen todos los fenómenos electromagnéticos]. Desde el principio, me pareció intuitivamente claro que, desde el punto de vista del observador, todo ocurriría según las mismas leyes de un observador que estuviera en reposo sobre la Tierra. Pues, de otro modo, ¿cómo sabría el primer observador, es decir, cómo podría determinar que se encuentra en estado de movimiento uniforme?"".
   Analizando con detalle este principio, se puede afirmar que un observador acercándose o alejándose de una fuente luminosa, mide la misma velocidad para la luz que un observador en reposo con respecto a dicha fuente. Así, la noción clásica del tiempo absoluto queda desterrada.
   Por tanto, todos los fenómenos físicos que dependen del tiempo son relativos, como por ejemplo, la velocidad de las reacciones químicas, el movimiento de los electrones en sus átomos,... y los viajes espaciales: un observador A, situado en una nave espacial, será más joven que un observador B situado en la Tierra. La ciencia-ficción se ha nutrido durante décadas de este fenómeno, comprobado experimentalmente, por cierto.
   La Paradoja es la siguiente: "al observador B situado en la Tierra, le parece que el observador A, situado en la nave espacial, vive a un ritmo más lento que el suyo, pero al observador A le parece que el observador B es el que vive a un ritmo más pausado".
   ¿Tiene solución esta paradoja o se cumple siempre? Afortunadamente se puede resolver: supongamos que la nave en la que viaja el observador A, lo hace con una trayectoria rectilínea. Para poder comparar cuál de los dos observadores ha envejecido más, es claro que ambos deben reunirse, lo que crea una situación diferente, ya que si A sale desde la Tierra, parte del reposo acelarando hasta alcanzar una velocidad y después decelerar para volver al estado de reposo en la Tierra. Además, debe dar una vuelta en su camino rectilíneo, que supone una nueva aceleración debida al cambio en el sentido de la velocidad. Como el observador A acelera en su viaje, no se mueve con un movimiento uniforme y, por tanto, no puede aplicar la Teoría de la Relatividad Restringida, cosa que sí puede hacer el observador B que está situado en la Tierra, en reposo, por lo que las predicciones correctas las realiza el observador B y no el A, y así, se cumple la primera parte de la paradoja pero no la segunda.