Hombre No-Numérico

  "El Hombre Anumérico" es libro curioso, ameno y muy recomendable. No hablaré aquí de él aunque sí voy a plantear la unión indisoluble que existe entre el hombre y los números. La humanidad ha dependido desde siempre de los números. Civilizaciones de miles de años de antigüedad ya usaban los números, aunque con diferentes sistemas de numeración denominados bases: la base decimal es la usada en la actualidad (se cree que su origen es el número de dedos de las dos manos) pero se puede usar cualquier otra como la vigesimal (los mayas, como explico en la entrada Sistema Vigesimal: la Fascinante Numeración Maya ), sexagesimal (de los sumerios), binaria (usada por los ordenadores), duodecimal, numeración romana, etc. Cabe resaltar el difícil nacimiento del cero, que no existió desde un principio aunque esas civilizaciones pretéritas ya intuían que debía existir alguna forma de representar "la nada". El hombre, por tanto, nunca ha sido anumérico. En la época moderna este hecho es debido a varias razones fundamentales que reflejan la profunda dependencia de la sociedad en relación con los números. 

   Tras algunas investigaciones, he resumido los campos fundamentales en los que la humanidad tiene más dependencia de los números en las siguientes 15 ramas, de forma muy esquemática. Obviamente, esta es una propuesta subjetiva pero que se asemejaría mucho a un enfoque objetivo de la simbiosis hombre-número. Por supuesto, no las he redactado en orden de importancia ya que todas tienen esa misma cualidad.

1. Economía: La economía se basa en dos sustantivos: la confianza y los números. Éstos son esenciales para describir transacciones, valores y presupuestos en la economía globalizada. Más que nunca, la economía se ve afectada por el Efecto Mariposa. Por otra parte, añadir que el ahorro, las inversiones y los planes de jubilación requieren cálculos numéricos precisos.
2. Tecnología: Desde cálculos informáticos hasta algoritmos, la base de la tecnología moderna se asienta en principios numéricos. El código binario y sus múltiplos dominan cualquier maquinaria electrónica, desde una sencilla calculadora hasta avanzados computadores.
   
3. Investigación científica: Los números son esenciales para cuantificar observaciones, analizar datos y formular teorías científicas. Cualquier investigación requiere, en mayor o menor medida, el uso de los números.
   
4. Medicina: Dosificación de medicamentos, análisis de datos clínicos y diagnósticos se apoyan en mediciones numéricas precisas. Es fundamental el ajuste preciso e inequívoco en este campo.
   
5. Ingeniería: Diseñar y construir estructuras seguras y eficientes depende de cálculos matemáticos avanzados y su aplicación numérica. La Matemática Aplicada despliega aquí todo su potencial.
   
6. Comunicaciones digitales: Internet y las telecomunicaciones se basan en códigos numéricos para transmitir información.
   
7. Planificación urbana: La organización de ciudades y servicios depende de datos demográficos y estadísticas poblacionales. Como ejemplo se puede ver la entrada Habitante-Equivalente: un Concepto Complejo pero Fundamental .
   
8. Educación: Los métodos de evaluación del progreso educativo están ligados a sistemas numéricos.
9. Logística y transporte: La optimización de rutas y la gestión de flotas, ya sean marítimas, terrestres o aéreas, se apoyan en cálculos numéricos. La Teoría de Grafos es fundamental en esta rama.
   
10. Clima y medio ambiente: La medición de cambios climáticos y el monitoreo medioambiental se realizan mediante mediciones numéricas. La aproximación de los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales proveen la visión "futura" del clima y así poder predecir las consecuencias y poder realizar un estudio preventivo para minimizar las posibles catástrofes.
    
11. Investigación de mercado: Comprender las tendencias y demandas del consumidor implica analizar datos numéricos. Se impone aquí el moderno Big Data.
    
12. Política y estadísticas: La toma de decisiones políticas se apoya en datos estadísticos y sondeos numéricos con los que poder inferir estadísticamente las tendencias en apoyos a los partidos políticos.
    
13. Producción y manufacturación: Optimizar procesos y recursos en la industria depende de mediciones numéricas exactas. El principio fundamental de cualquier empresa es "máximo beneficio con el mínimo coste". Para ello se ha de ajustar eficientemente el proceso de producción, lo cual requiere una elaborada gestión numérica del presupuesto para optimizar dicho principio.
    
14. Seguridad y criptografía: Mantener la privacidad y seguridad de la información involucra códigos numéricos avanzados. La criptografía (el cifrado en sí) implica la seguridad en una sociedad avanzada. La base de la criptografía es la Teoría de Números y, dentro de ella, las propiedades de los números primos.
    
15. Conquista espacial: Es evidente que estamos en el comienzo de la carrera espacial masiva, planeando ya ir más allá de nuestro satélite natural, la Luna, lo cual requiere de unos cálculos muy precisos y profundos, tanto en la industria aeroespacial de fabricación como en el uso de esos artefactos, desde satélites o sondas a complejas naves.
    

   Evidentemente, algunos de los puntos anteriores están relacionados entre sí (dejo al lector este sencillo ejercicio), lo cual no implica la prioridad de unos sobre otros, de ahí la razón de no darles un orden escrupuloso en la exposición, como comenté más arriba.

¿Podría La Tierra Ser un Agujero Negro?

   Propongo aquí un interesante ejercicio ejemplarizante sobre lo que sucede a nuestro alrededor, hablando en términos extraplanetarios, y en lo que se convierten ciertos objetos estelares bajo ciertas condiciones. Pero antes, explicaré en lo que sigue, un poco de teoría sin la terminología científica que debe ser la habitual, en términos rigurosos.

    La Teoría de la Relatividad de Einstein explica la influencia de la gravedad sobre la propagación de la luz. Es bien conocido que ésta se comporta como materia y como onda: es lo que se conoce como "dualidad onda-corpúsculo". Explico estos conceptos en la entrada Sonido, Luz, Ondas, Huygens. El efecto de la desviación de los rayos luminosos por la gravedad es muy importante cuando la materia de un objeto estelar especial, una estrella de neutrones, no encuentra freno y entra en colapso. Mencionar, sucintamente, que una estrella de neutrones es un objeto estelar muy denso, pequeño y muy caliente, con un campo magnético excepcionalmente potente, que gira sobre sí mismas a velocidades muy elevadas y, algunas de ellas, emiten radiación en forma de púlsares. Fascinantes. Voy a describir muy brevemente, la conversión de estas estrellas en los no menos fascinantes agujeros negros (black holes).

   Supongamos que pudiéramos seguir el proceso que afecta a una estrella de neutrones. Al principio, todo permanece en un endeble equilibrio pero sobre su superficie comienza a notarse la curvatura de los rayos luminosos por el efecto de la elevada gravedad. Los rayos de luz emitidos se curvan, primero de forma oblicua aunque aún son capaces, a pesar de una curvatura inicial, de alejarse lo suficiente de la intensa gravedad como para continuar en línea recta a través del espacio. Si ahora la masa de la estrella crece lentamente y comienza el colapso porque la presión interior es insuficiente, la gravedad aumenta rápidamente. Pronto, la curvatura de luz es tan intensa que un rayo de luz horizontal a la superficie del cuerpo da varias vueltas a su alrededor antes de poder escapar de la creciente gravedad. Cada vez les cuesta más a estos fotones luchar contra la gravedad y cuando la estrella alcanza un radio de no más de 8,9 kilómetros, la luz ya no puede salir de su superficie. La gravedad curva con tanta intensidad los rayos de luz emitidos que éstos vuelven a caer a la estrella y se produce la oscuridad a ojos externos aunque el objeto sigue estando ahí pero de una forma que la Física actual todavía no conoce. Todo este proceso, en tiempo estelar, puede ser corto (unos millones de años) aunque depende, naturalmente, de la masa del objeto inicial: cuanta mayor masa, más tardará en formarse el agujero negro.

   Cabe preguntarse ahora, ¿cuál es ese límite del radio de un cuerpo hasta el que debe comprimirse a partir del cual la luz que emite ya no puede escapar de él? Este límite se llama radio de Schwarzschild cuya expresión es la sencilla r = 2Gm / c², siendo G la constante de gravitación universal, m la masa del objeto y c la velocidad de la luz.

   Después de esta (interesante) introducción vayamos a la consideración inicial. El problema dice así:

Utilizando la Ley de Conservación de la Energía, calcular el radio que debe tener la Tierra para que sea un agujero negro. La masa de la Tierra es 5,98 x 10²⁴ kg y su radio 6,37 x 10⁶ m. La velocidad de escape es la velocidad mínima que se debe suministrar a un cuerpo para que logre vencer el campo gravitatorio de otro. Para que un objeto escape de la Tierra y no regrese, debe lanzarse con una velocidad mayor que la que se requiere para ponerlo en órbita (se puede ver más en la entrada Otra Ecuación Diferencial Interesante: Cohetes ). Consideremos una velocidad de escape tal que, cuando a un objeto se la imprimimos, éste tenga una velocidad cero en un punto en el “infinito”, en donde su energía total, E, que es la suma de su energía cinética y su energía potencial, será: E = mv² /2 + GmM /R = 0. Como la energía se tiene que conservar, entonces, en el momento del lanzamiento, la energía cinética se iguala a la energía potencial, esto es, mv² /2 = GmM /R , donde v  es la velocidad de escape, G = 6,67 x 10^-11 m³ kg^-1 s^-2, m es una masa cualquiera que no afecta al razonamiento ya que sabemos que se va a simplificar en los cálculos, M la masa de la Tierra M = 5,98 x 10²⁴ kg, y R es el radio de la Tierra, R = 6,37 x 10⁶ m. Despejando v = (2GM R)^1/2

Como, ningún objeto puede viajar mas rápido que la velocidad de la luz en el vacío (c = 3 x 10⁸ m/s), esto implica que la máxima velocidad de escape es c. Entonces la ecuación para calcular el radio que debería tener la Tierra para que fuera un agujero negro es R_T = 2GM /c²

Solo queda sustituir los valores de G, M, c,  y obtenemos R_T = 8.8 x 10^-3 m = 8.8 mm , es decir, el diámetro que debería tener la Tierra para ser un agujero negro tendría que ser, aproximadamente, el de una canica de las grandes, aquellas con las que no se jugaba pero se apreciaban enormemente.

   ¿Realmente puede darse esta circunstancia? ¿Puede la Tierra convertirse en un agujero negro? En teoría, cualquier cuerpo con masa puede convertirse en agujero negro pero, una vez formado, la cuestión está en cuánto tiempo duraría y si ganaría masa o la perdería y este hecho depende de la radiación de Hawking que, en pocas palabras, es la "evaporación" del agujero negro, su perdida de masa y tamaño hasta desaparecer aunque tardaría mucho tiempo. Es calculable pero no entraré en ese aspecto, simplemente resaltar que se manejan cifras mayores a un gugol, 10¹⁰⁰

 En la entrada Números Excepcionales I explico de dónde surge este número y otros muchos.

El inconveniente es que, como se ha visto antes, sería tan pequeño como una canica por lo que emitiría mucha de esa radiación de Hawking y se "evaporaría" muy rápido.

¿Cómo Se Pesa Una Estrella?

    A nivel planetario es evidente que el cálculo preciso de una cualidad cualquier objeto es medible de forma física, en términos generales, esto es, se coge el objeto y se mide dicha cualidad. Incluso objetos muy masivos se pueden medir dichas cualidades por métodos indirectos usando las propiedades físicas de dicho objeto, como pueden ser, su densidad y volumen, su compresión, su elasticidad, su límite de rotura, etc. Pero, ¿qué sucede cuando se quieren pesar estrellas, algunas tan lejanas que se encuentran a millones o miles de millones de años-luz de distancia? (Inciso 1: quiero recordar aquí que el término "año-luz" se refiere a distancia, no a tiempo ya que es la distancia que se recorre en 1 año viajando a la velocidad de la luz en el vacío). Los primeros científicos en plantearse estas cuestiones fueron Kepler y Newton hace varios siglos pero, en la actualidad, poco se ha avanzado desde aquellos primeros cálculos.

   La pregunta de la entrada comienza con la respuesta para la estrella más sencilla por ser la más cercana a nuestro planeta: vamos a calcular cuánto pesa el Sol.

La Tierra se mueve en el campo gravitatorio del Sol describiendo un elipsoide, casi un círculo, por lo que, a efectos prácticos, se utiliza la órbita terrestre con forma circular. Para el caso de un elipsoide la complejidad de los cálculos aumenta exponencialmente. Sobre el planeta actúan dos fuerzas que permanecen en equilibrio: la fuerza centrífuga, que trata de proyectarlo hacia el exterior de su órbita, y la gravedad solar que lo atrae hacia él. Obviamente, según la masa de cada planeta u objeto que orbite una estrella, se encuentra a una distancia tal que esas dos fuerzas sea iguales pero de diferente sentido para que permanecer en equilibrio (Inciso 2: hablo, indistintamente, de peso y masa de un objeto pero teniendo en cuenta su diferencia: el peso de un objeto es su masa por la gravedad del objeto que lo atrae, esto es, p = mg, casos diferentes ejemplos los he descrito en la entrada La Gravedad en Distintos Objetos Celestes) . Este estado permite determinar la fuerza de atracción solar y así poder calcular su masa. Se puede formular este proceso según la Tercera Ley de Kepler reformulada por Newton:

(radio orbital del planeta)³ = cte de gravitación x (masa planeta + masa solar) x (período orbital del planeta)². 

La distancia entre la Tierra y el Sol es de 1,5 x 10⁸  km, entonces se puede calcular la distancia que recorre el planeta en su órbita alrededor del Sol, lo cual es esencial para conocer la velocidad con la que se mueve la Tierra en su órbita y así se puede saber la masa del Sol. La constante gravitacional es conocida, el radio orbital se puede calcular por lo comentado anteriormente (se mide en unidades astronómicas, UA) y el período orbital de la Tierra es 1 año, por lo que de la ecuación solo queda la incógnita masa planeta + masa solar, y, teniendo en cuenta que añadir la masa de la Tierra a la masa del Sol es despreciable, por ser ínfima en comparación la una de la otra, la única incógnita es la que nos generaba la duda inicial.

Con algunos cálculos básicos, se sabe que la velocidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol es de v = 29 m/s. Con este dato ya es posible calcular la masa del Sol, aplicando la Segunda Ley de Newton (omito los cálculos por ser algo sufridos) y, así, se concluye que la masa solar es de M =1,99 x 10³⁰ kg.

   Para calcular la masa de otras estrellas se utiliza la relación masa-luminosidad ya que, para la mayoría de las estrellas (alrededor del 90%) se cumple que las más masivas son también las más luminosas. Esta relación viene dada por la expresión L ~ M⁴  (la luminosidad es, aproximadamente, la masa elevada a 4), por ejemplo, si dos estrellas difieren en masa por un factor de 2, entonces la más masiva será 16 veces (2 elevado a 4) más brillante ó si una estrella es 1/3 de la masa de otra, será, aproximadamente, 81 veces menos luminosa. 

   Otro procedimiento para el cálculo de la masa de una estrella se realiza aplicando el efecto Doppler al espectro electromagnético de una estrella: se puede deducir la velocidad con la que ésta se acerca o se aleja de nosotros, ya que si el objeto se aleja, su luz se desplaza hacia longitudes de onda más largas, produciéndose lo que se conoce como "corrimiento al rojo" (redshift) y, por el contrario, si el objeto se acerca, su luz presenta una longitud de onda más corta, desplazándose hacia el color azul o "corrimiento al azul"; el efecto Doppler asegura que cuando el observador se encuentra muy cerca de la trayectoria del objeto, la transición de alta a baja frecuencia es muy abrupta y viceversa, esto es, cuando el observador está lejos de la trayectoria del objeto, la transición de alta a baja frecuencia es gradual. Como dato relevante, apuntar que tiene mucha más importancia el corrimiento al rojo y que existen pocos casos de corrimiento al azul.

   Así, sabemos que la velocidad de un punto material es el espacio que recorre en una unidad de tiempo, esto es, v = e / t. En nuestro caso, v = 2Pi x r / t , donde r = radio de la estrella y t = período orbital. La velocidad se calcula por el método visto en el párrafo anterior y el período orbital observando el movimiento, por lo que la única incógnita es el radio estelar que se puede despejar fácilmente y, aplicando la Segunda Ley de Newton (F = m x a) para objetos orbitales, se obtiene, después de algunos cálculos, m = (r x v²) / G , siendo G la constante de gravitación universal, G = 6.67 x 10^-11 m³ kg^-1 s^-2

Es laborioso aunque gratificante poder realizar mediciones de objetos que tan solo se pueden observar en lo profundo del espacio, sin poder atacarlos directamente. Las mediciones pueden ser, como he mostrado, la masa de una estrella, pero también su tamaño, la distancia a la que se encuentra de nosotros, su velocidad, si se aleja o se acerca, su temperatura exterior y la de su núcleo. 

He procurado omitir todo lo posible los pasos intermedios de cálculos y sintentizar al máximo lo explicado pues harían esta entrada casi imposible de leer pero mi tiempo y algunos folios me ha costado. Espero hayan merecido el esfuerzo y que el lector aprenda y satisfaga su curiosidad.