Una miniatura en ajedrez es una partida en la que se da jaque mate, o el rival abandona, en menos de 20 jugadas. Así pues, he denominado a esta entrada con el título que encabeza por ser breve pero contundente, como en el maravilloso juego del ajedrez.
El
planteamiento es muy sencillo: ¿cuál es el mayor número que se
puede obtener con una sola cifra? Es trivial que la respuesta es 9,
pero se puede seguir planteando la cuestión natural, y
¿cuál es el mayor número que se puede formar con 2
cifras? Intuitivamente se puede pensar que ese número es el 99,
pero NO, la respuesta verdadera es el número 99,
es decir, el número 387420489 (trecientos
ochenta y siete millones y pico…). Sin
el uso de las potencias no se podría realizar este pequeño juego
matemático que, al igual que la entrada ¿Sabes Contar? no requiere grandes conocimientos para entender lo que pretendo explicar aquí.
Siguiendo el proceso, ¿cuál es el mayor número que se puede formar con 3 cifras? Según lo expuesto con anterioridad, no es el pequeño 999, si no el magnífico 9387420489, es decir, 9 elevado a 99. Este número, que parece ínfimo a simple vista aunque grande comparado con los anteriores, obviamente, tiene una magnitud difícil de comprender puesto que está expresado en forma de potencias. Si dicha expresión fuera la habitual de una cifra detrás de otra y realizando algunos sencillos cálculos, para escribirlo se necesitarían emplear 74 libros de 1000 páginas cada uno en los que se incluyeran 5000 cifras en cada página. Pantagruélico.
¿Qué sucede con los número negativos? La trivialidad aquí desaparece. En este caso, hay que cambiar “mayor” por “menor” porque, el menor número, siguiendo el algoritmo anterior para los números positivos, es -9, ya que es el más pequeño al ser números negativos y así, la cuestión ¿cuál es el mayor número que se puede formar con una sola cifra? aquí, -9 no es la respuesta correcta, ya que -1 > -2 > -3 … > -9. Por tanto, para números enteros, la respuesta correcta es -1.
Pero, cada número positivo es de la forma a1, es decir, según el primer párrafo de esta entrada, es claro que 9 = 91. ¿Y si ese exponente tan inocente se convirtiera en negativo, esto es, cómo son los números de la forma (-a)-1 siendo a > 0 ? Se obtiene así, por una propiedad de las potencias, que (-a)-1 = 1/(-a). Por ejemplo, (-9)-1 = 1/(-9) = -0,11111… pero, razonando como anteriormente, (-9)-9 = -1/387420489 = -0,0000000002… y, nos podemos imaginar el proceso que sigue, obteniendo la sucesión de la forma (-9)-n = 1/-(9)n, que es convergente a 0. Esto quiere decir que, conforme aumenta el exponente n, 1/(-9)n → 0 (sucesión convergente a 0 ), aproximándose desde los números negativos.
La conclusión es que para los números positivos las potencias nos trasladan a un mundo de magnitudes estratosféricas con mucha rapidez pero para los números negativos, sus potencias nos trasladan a todo lo contrario, números infinitesimales también con gran celeridad.
