Matemáticas Recreativas: Tres Problemas No Resueltos

   Las matemáticas recreativas son, básicamente, juegos de lógica, cálculo, figuras o incluso lingüísticos, con alguna dificultad, en los que haya que aplicar algún tipo de estrategia para resolverlos o concluir con alguna solución o soluciones. Pueden ser tan conocidos como el sudoku (se usan números), el tres en raya (se usan figuras), el origami (se usa una simple hoja de papel), o el cubo de Rubik. Pueden también ser tan sencillos como crear figuras a partir de otras (ideal para que los niños se familiaricen con los triángulos, cubos, pentágonos,...) o realizar ciertas operaciones matemáticas sencillas con ciertas reglas para inferir algunos resultados (ideal para el cálculo mental sencillo y la capacidad de abstracción).

   O bien, pueden ser tan complejos como el ajedrez (bien estudiado en Teoría de Juegos), el Cram o el fantástico "juego de los filósofos" (personalmente, he intentado jugarlo pero no he podido por su enorme complejidad). Sin mencionar el ajedrez a cuatro o el ajedrez 3D, e idem para el juego de los filósofos, que añaden más complejidad aún.

   Me centro brevemente en estos 3 juegos porque no han sido resueltos en su totalidad, es decir, no se sabe cuál es, dada una posición cualquiera, la estrategia óptima que conduce a la victoria. Esto se debe a que la llamada "matriz de pagos" correspondiente al ajedrez y al juego de los filósofos es tan grande que no se puede diagonalizar ni con la potencia de los procesadores actuales. No entraré en lo que son estos conceptos por ser complicados y abstractos pero se refieren a la Teoría de Juegos, mencionada anteriormente. En el caso del Cram, la dificultad radica en la construcción de la base del juego, el tablero en sí. Son juegos de solo dos jugadores o rivales y se juega por turnos alternos sin posibilidad de no jugar (saltar un turno). Estos 3 juegos son denominados "de suma cero", es decir, lo que un jugador gana lo pierde el otro y, de los 3, en el Cram y en el ajedrez existe el empate (un jugador pierde/gana la mitad de la puntuación, al igual que su oponente). El Cram y el ajedrez son simétricos pero el juego de los filósofos no.

   El Cram tiene como base un tablero de n x m casillas, en las que se van colocando figuras de 2 x 1 de un color cada jugador, por turnos alternos, de forma vertical u horizontal sobre casillas libres hasta que gana el jugador que consigue poner una figura en el tablero de forma que no se pueda poner otra. Reglas muy sencillas para un juego matemático recreativo muy sencillo, ¿verdad? No tan sencillo...

   A diferencia del ajedrez o el juego de los filósofos en los que, incluso antes de comenzar a jugar, ya hay una elevada (o elevadísima) complejidad, el Cram puede comenzar con un tablero de 2 x 2 en el que, obviamente, gana el jugador que no comienza el juego, ya que el primer jugador ocupa casillas 2 x1 ó 1 x 2 (figura colocada de forma horizontal o vertical, respectivamente), con lo que el segundo jugador solo puede ocupar las casillas 2 x 1 ó 1 x 2 respectivamente, completando el tablero y ganando.  Este era el caso más simple. La estrategia ganadora es muy sencilla en tableros de casillas formadas por números par × par  y par × impar. En el caso de un tablero par x par el segundo jugador gana realizando la jugada simétrica del primero, es decir, ante cualquier jugada que hace el primer jugador, el segundo jugador tiene una jugada que corresponde de manera simétrica al otro lado del eje horizontal y del eje vertical (el segundo jugador traspone las jugadas del primer jugador). Si el segundo jugador es quien dirige esta estrategia, el segundo jugador siempre va a hacer la última jugada completando así el tablero y ganando el juego. En el caso de un tablero par × impar, el primer jugador gana también por jugada simétrica. El primer jugador pone la primera figura en las dos casillas centrales del tablero y el segundo jugador puede hacer cualquiera jugada, respondiendo el primer jugador con una jugada simétrica, lo que asegura la victoria para el primer jugador.

   Se pueden ir viendo las estrategias sobre tableros reales en los casos de 3 x3, 5 x 5 y en los casos de tableros de la forma 1 x n. Según sea el número n, se puede dar la solución en algunos casos donde n es impar, pero, y aquí está la respuesta a la pregunta anterior de juego matemático recreativo muy sencillo, en el caso general para tableros con casillas impar  ×  impar, todavía no se ha resuelto.

  Este último párrafo no voy a explicarlo por su complejidad y entiendo la frustración del lector/lectora de esta entrada, si ha llegado hasta aquí. Probar lo expuesto en esas 5 líneas requiere conocimientos de Teoría de Juegos y Teoría de Juegos Combinatorios, que escapan a este blog. Es fundamental entender el Teorema de Sprague-Grundy y sus consecuencias para comprender que hasta en lo más sencillo, a priori, como es el Cram, se encierra una enorme complejidad. Invito a leer al autor Conway (y otros, por supuesto) para indagar en las razones del párrafo precedente y así poder comprender un juego tan sencillo en apariencia.

   Hasta aquí un breve acercamiento a 3 juegos matemáticos recreativos no muy conocidos, salvo el ajedrez, que invitan a razonar y abstraerse de la cotidianeidad del mundo en el que vivimos.

Pincelada Sobre Números Algebraicos y Trascendentes

    Voy a explicar brevemente en esta entrada la diferencia entre los números algebraicos y los números trascendentes que suponen la gran división de los números complejos.

Un número se dice algebraico si es un número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de la forma a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x¹ + a₀ = 0,  donde n > 0 , cada a_i es entero y a_n es distinto de cero. Así, todos los números racionales son algebraicos porque todas las fracciones de la forma a / b es solución de bx - a = 0. Algunos números irracionales, como la raíz cuadrada de 2 ó
la mitad de la raíz cúbica de 3, también son algebraicos porque son soluciones de x² - 2 = 0 y 8x³ - 3 = 0, respectivamente. Pero no todos los números reales son algebraicos. Los ejemplos más conocidos son el número "Pi" y el número "e". Si un número complejo no es algebraico, se dice que es un número trascendente. Probar que tanto "Pi" como "e" son trascendentes (esto es, no son solución de ninguna ecuación) no es fácil y no lo haré aquí pero merece la pena nombrarlo.

  
   Si un número algebraico es solución de una ecuación polinómica de grado n, pero no puede serlo de una ecuación polinómica de grado menor, entonces se dice que es un número algebraico de grado n.

   

 La suma, diferencia, producto o cociente de dos números algebraicos vuelve a ser algebraico, y por lo tanto los números algebraicos constituyen un Cuerpo. Puede demostrarse que si los coeficientes a_i son números algebraicos cualesquiera, la solución de la ecuación volverá a ser un número algebraico, lo cual significa que dicho cuerpo es algebraicamente cerrado (las raíces de sus polinomios están en él). De hecho, es el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene a los racionales.

Todos los números que pueden escribirse a partir de los racionales empleando solamente las operaciones aritméticas +, -, *, /, potencias y raíces son algebraicos. Sin embargo, existen números algebraicos que no pueden escribirse de esta forma, y son todos de grado >5. Ésta es una consecuencia de la Teoría de Galois (ver entrada La Insolubilidad de la Quíntica). 
    Un número algebraico que satisface una ecuación polinómica de grado n con el coeficiente del término líder unitario, se denomina entero algebraico. La suma, diferencia y producto de enteros algebraicos vuelve a ser un entero algebraico, lo que significa que los enteros algebraicos forman un anillo. El nombre de entero algebraico proviene del hecho de que los únicos números racionales que son enteros algebraicos son los propios enteros.
   Una propiedad importante es que si tenemos dos cuerpos de forma que el segundo es una extensión del primero, se dice que todo elemento del segundo cuerpo, es algebraico sobre el primero si existe un polinomio perteneciente al anillo de polinomios con coeficientes en el primer cuerpo, del que es raíz, esto es, anula a dicho polinomio.

   Con todo ello, el conjunto de los números algebráicos es numerable, mientras que el conjunto de los números reales sabemos que es no-numerable (es decir, no existe una biyección entre el conjunto de los números naturales y el de los reales);  se deduce pues, que el conjunto de los números transcendentes es no-numerable, por lo que hay muchos más números transcendentes que algebraicos, curioso, ¿verdad?. Sin embargo, existen muy pocos números transcendentes conocidos, y demostrar que un número es transcendente puede ser extremadamente difícil. Como ejemplo, citar que todavía no se sabe si la constante de Euler-Mascheroni lo es, siendo su valor aproximado 0.577215..., y ni siquiera se sabe si es irracional o no, siendo una constate extremadamente importante. Se pueden ver ésta y otras constantes importantes en las entradas Números Excepcionales I y Números Excepcionales II.

Por citar algunos ejemplos, los números transcendentes más conocidos son:

- Números "Pi" y "e" (nota: el hecho de la imposibilidad de la cuadratura del círculo radica en que "Pi" es trascendente).

- a^b donde a no es 0 ni 1 siendo algebraico y b algebraico pero irracional. El caso general se conoce como Séptimo problema de Hilbert de los 23 propuestos (el resultado se conoce como Teorema de Gelfond).

- Sin(1).

-  ln(a) (logaritmo neperiano de "a") si a es positivo, racional y distinto de 1.

- La función Gamma de 1/3. 

   Hasta aquí unas pinceladas sobre este tipo de números que surgen de preguntas tan naturales como pueden ser: ¿cómo son las soluciones de las ecuaciones? o, ¿existen números que no son soluciones de alguna ecuación?, si existen, ¿hay muchos?, ¿cuáles son sus características?... La duda crea conocimiento.

Sistemas de Numeración

   La comunicación se basa, fundamentalmente, en el qué y en el cuánto, entendiendo por el qué los sustantivos que una persona o grupo de personas quieren exponer, explicar o comunicar a otra u otras personas, y entendiendo por el cuánto a la cantidad de esos sustantivos, todo ello ya sea de forma oral o escrita. Así pues, fijándonos en el cuánto (cuánta, cuántos, cuántas), cada cultura ha desarrollado, desde sus inicios, su propio sistema de numeración independiente de los de otros pueblos o culturas, lógicamente, por la distancia física entre ellos y la diferencia de desarrollo básica.

  Expongo en esta entrada y de forma breve, algunos sistemas de numeración antiguos, los que considero más importantes aunque seguro que ha habido otros muchos a lo largo de la historia de la humanidad, y comienzo por el que más me agrada, el cual trato en la entrada de su propio nombre que ya hice hace algún tiempo:

-Sistema vigesimal Maya: En el enlace Sistema Vigesimal: La Fascinante Numeración Maya

-Sistema vigesimal Azteca: Los aztecas desarrollaron un sistema de numeración propia. El sistema numérico empleado era de base vigesimal, es decir, contaban de 20 en 20 y los números del 1 al 19 se representaban con puntos o dedos. Utilizaban así cantidades hasta 20 sirviéndose del número preciso de puntos, a pesar de que en las matemáticas de la actual América Central se simplificaba el proceso recurriendo a las barras para representar series de 5 (representado éste por una mano). Los aztecas se servían de una bandera para indicar 20, que iban repitiendo hasta llegar al 400, que se representaba con una pluma. También utilizaban la figura de un abeto (puede entenderse como "tan numerosos como los cabellos") para representar 400 (20 x 20). Cuando pretendían indicar 8.000 (20 x 20 x 20) recurrían a una bolsa o costal, que venía  a significar "resulta tan incalculable como los granos de cacao que caben en el mismo".

  En un manuscrito encontrado después de la llegada de los conquistadores españoles, se puede ver cómo resolvían los aztecas las fracciones. Para ello se limitaban a oscurecer segmentos de la cuarta parte, la mitad o las tres cuartas partes de un disco. De una forma similar se representaba el 5 (también los múltiplos del mismo), pero coloreando unos espacios definidos de la bandera del signo 20, y los centenares añadiendo líneas uniformes al símbolo de 400.

  Obtenían así diferentes cifras agrupando o combinando puntos, rayas, banderas y bolsas.

  Existían dos tipos de calendarios:  uno ritual y otro solar. El calendario ritual o religioso era utilizado por los sacerdotes y tenía 260 días y el calendario solar estaba dividido en 18 meses de 20 días cada uno. Abarcaba 360 días, más 5 días sagrados en los que no se podía hacer nada. El destino de los hombres estaba rigurosamente señalado en estos calendarios.

-Sistema Arábigo: Los números arábigos, también llamados números indoarábigos, son los símbolos más utilizados para representar números. Se les llama arábigos porque los hispano-árabes de Al-Andalus los introdujeron en Europa a través de su acción cultural, aunque, en realidad, su invención surgió en la India. El mundo le debe a la cultura india el invento trascendental del sistema de numeración posicional, así como el descubrimiento del 0 (cero), llamado śūnya (shuunia) o bindu en lengua sánscrita, aunque los mayas también conocieron tanto el 0 como la numeración posicional, como se describe en la entrada referida a la numeración vigesimal Maya.
   El sistema arábigo se ha representado (y se representa) utilizando muchos conjuntos de elementos diferentes. Estos elementos pueden dividirse en dos grandes familias: los numerales arábigos occidentales y los orientales. Los orientales se desarrollaron en lo que actualmente corresponde a Irak. El Arábigo-Índico oriental así denominado, es una variedad de los elementos arábigo-índicos. Los numerales arábigos occidentales, desarrollados en Al-Andalus y el norte de África se denominan Números arábigos modernos.

  El sistema de numeración arábigo se considera uno de los avances más significativos de las matemáticas.

  Los números arábigos reemplazaron a la numeración cirílica en Rusia alrededor de a comienzos del siglo XVIII.

  Curiosamente, en el mundo musulmán solamente los matemáticos utilizaban el sistema de numeración arábigo hasta tiempos relativamente recientes. Los científicos usaban el sistema mesopotámico y los comerciantes los sistemas griego y hebreo, que se describen a continuación.

-Sistema Mesopotámico: El sistema de numeración mesopotámico (también llamado numeración babilónica) es un sistema de representación de los números en la escritura cuneiforme de varios pueblos de Mesopotamia. Este sistema apareció por primera vez alrededor de 1900-1800  a. C. También se acredita como el primer sistema de numeración posicional, es decir, en el cual el valor de un dígito particular depende tanto de su valor como de su posición en el número que se quiere representar. Esto era un desarrollo muy importante, porque, antes del sistema lugar-valor los técnicos estaban obligados a utilizar símbolos únicos para representar cada potencia de una base (diez, cien, mil, y así sucesivamente), llegando a ser incluso los cálculos más básicos poco manejables.
  Aunque su sistema tenía claramente un sistema decimal interno prefirieron utilizar 60 como la tercera unidad más pequeña en vez de 100 como lo hacemos hoy, más apropiadamente se considera un sistema mixto de las bases 10 y 60. Un valor grande al tener como base 60 es el número da como resultado un guarismo más pequeño y que además se puede dividir sin resto por 2, 3, 4, 5, 6, y por tanto también 10, 15, 20 y 30. Solamente dos símbolos usados en una variedad de combinaciones eran utilizados para denotar los 59 números. Se usaba un espacio  para indicar un cero (siglo III a. C.), aunque idearon más adelante una muestra de representar un lugar vacío.
  La teoría más comúnmente adoptada es que el 60, un número compuesto de muchos factores (los números anterior y siguiente de la serie serían el 12 y el 120), fue elegido como base debido a su factorización 2×2×3×5, que lo hace divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, y 30. De hecho, es el entero más pequeño divisible por todos los enteros del 1 al 6.
  Los enteros y las fracciones eran representados de la misma forma: el punto separador de enteros y fracciones no era escrito, sino que quedaba aclarado por el contexto.
Como ejemplo, el número 53 en numeración babilónica se representaba utilizando cinco veces el símbolo correspondiente a 10, y 3 veces el símbolo correspondiente a 1, o solamente el 50 y el 3.

-Sistema Hebreo: Es un sistema alfabético casi decimal en el que se utilizan las letras del alfabeto hebreo. No hay notación para el 0 y los valores numéricos de cada letra individual se suman conjuntamente. Cada unidad (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) se asigna con una letra separada, cada decena (10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90) y cada centena (100, 200, 300, 400) se asignan, igualmente, con letras separadas. La numerología judía generalmente hace un extenso uso de este sistema de numeración, aunque su utilización prácticamente exclusiva en la actualidad ha sido facilitar el estudio de los textos del judaísmo, la Torá o el Talmud.

-Sistema Cirílico: El sistema de numeración cirílica fue derivado del alfabeto cirílico, usado por los pueblos eslavos del sur y este de Europa. El sistema fue usado en Rusia hasta el siglo XVIII, cuando fue reemplazado por el sistema de numeración arábigo. Es un sistema aditivo que no es posicional basado en la numeración griega y se escribía con los correspondientes símbolos del alfabeto cirílico. Cada letra estaba asignada a una unidad (1, 2… 9), a un múltiplo de diez (10, 20… 90) y a un múltiplo de cien (100, 200… 900). Los números se escribían tal y como se pronunciaban, normalmente de izquierda a derecha, con la excepción de los números del 11 al 19. Estos números se pronunciaban y escribían de derecha a izquierda. Por ejemplo, el 17 se pronuncia sem-nad-zat ('siete-más de-diez'), en contraste con el número en español "diecisiete" o "diez y siete"). Para poder convertir números cirílicos a arábigos era necesario sumar todas las cifras de que se componía el número.
  Debido a que los símbolos del alfabeto y los símbolos numéricos cirílicos son idénticos, para distinguir unos de otros, los números se escribían con un título encima; aunque el "título" no era precisamente un signo diacrítico, se usaba como tal en este caso. Así mismo, si el número era mayor de 1000, se escribía el signo de los millares antes del número, y era necesario escribir el signo de millar con la respectiva letra de las unidades.

-Sistema Egipcio: El sistema de numeración egipcio permitía representar números  desde el 1 hasta millones, desde el inicio del uso de la escritura de jeroglíficos. A principios del tercer milenio a.C. los egipcios disponían del primer sistema decimal desarrollado (numeración de base 10). Aunque no era un sistema posicional, permitía el uso de grandes números y también podía describir pequeñas cantidades en forma de fracciones unitarias: las fracciones del "Ojo de Horus". Las cantidades se representaban de una forma muy larga. Éste es uno de los sistemas de numeración más antiguos. Se podían representar los números con cifras o palabras (fonéticamente): como "30" o "treinta". Sin embargo, no era muy común representarlos mediante sus nombres, con la excepción del 1 y el 2. Los demás valores se expresaban con la repetición del símbolo el número de veces que fuera necesario.

En  la dinastía XIII existía un símbolo para el 0: el término nfr, según Lumpkin.

   Para escribir un número ordinal, los egipcios utilizaron tres formas diferentes:

Indicaban el número ordinal "primero" mediante el jeroglífico tpy. Para escribir los ordinales desde "segundo" a "noveno" usaban los números cardinales añadiendo el sufijo nu y los ordinales desde el "décimo" en adelante se indicaban mediante el participio del verbo llenar: mht.
  En contra de lo que pueda parecer, la escritura jeroglífica de los números apenas fue empleada en la vida diaria. La mayor parte de los textos administrativos y contables estaban escritos en papiro o en ostraca en vez de grabarse en piedra y eran textos de numerales escritos en hierático. La llamada notación hierática emplea un sistema numérico diferente, utilizando signos para los números del 1 al 9, para decenas (múltiplos de diez, del 10 al 90), centenas (del 100 al 900) y millares (del 1000 al 9000). Un número grande, como 9999, se podría escribir empleando este sistema con solo cuatro signos, combinando los signos de 9000, 900, 90 y 9, en vez de usar los 36 jeroglíficos.

Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso. Al ser indiferente el orden, se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas, etc.) cuyo número indicaban.

  Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas.

En las operaciones elementales con números egipcios, para puntear los signos menos (-) y más (+) se usaban los jeroglíficos. Si los pies estaban orientados en dirección de la escritura significaba (+)  y al contrario (-).

  Los números racionales también podían ser expresados, pero solo como sumas de fracciones unitarias, con la unidad por numerador, excepto para 2/3 y 3/4. El indicativo de fracción es representado por el jeroglífico de la "boca" (j), y significa "parte". Había signos especiales para 1/2, para 2/3 (de uso frecuente) y 3/4 (de uso menos frecuente).  Si el denominador era muy grande y el signo de la "boca" no cabía encima, se situaba justo encima del comienzo del denominador . Aparte de 2/3 y 3/4 los egipcios no conocían fracciones con numerador distinto a 1. Por ejemplo, la fracción 3/5 se representaba como 1/2 + 1/10 y así ocurría con todas las fracciones como suma de fracciones con la unidad como numerador. 

Hasta aquí una pincelada de algunos sistemas de numeración antiguos y muy interesantes, cada uno con sus ventajas e inconvenientes pero todos válidos, tal como demuestra la vital ayuda que supusieron para desarrollar los pueblos y culturas de los que formaban parte esencial.