Construcciones (No Construibles) con Regla y Compás

    Expongo aquí las demostraciones rigurosas de dos cuestiones muy básicas de nombrar, como son la imposibilidad de cuadrar el círculo y duplicar el cubo, con el uso tangible de instrumentos físicos, esto es, con el uso de regla y compás de la forma geométrica clásica:

1) No es posible la construcción con regla y compás de un cuadrado cuya área coincida con la del círculo de radio la unidad.

Para ello, supongamos lo contrario, es decir, lo que se conoce como la demostración por el método de reducción al absurdo. Sean pues, A_i = (a_i, b_i), con i = 1, 2, 3, 4 los vértices consecutivos de un cuadrado de área π. Sin entrar en detalles escabrosos, existe un resultado que garantiza que un punto se puede construir a partir del conjunto de puntos del plano P = {(0, 0), (1, 0)}, si una extensión de cuerpos a partir del menor subcuerpo de R (conjunto de números reales) que contiene a Q (conjunto de números racionales) es potencia de 2. No entraré en esto, ya que el objetivo de esta entrada ha de ser simple y no la pérdida de interés en el resultado final. Con esto en mente, se considera ese menor subcuerpo como el propio Q. Así, una extensión de él, E/Q, es algebraica, donde E = Q(a₁, b₁, a₂, b₂). Pero contradice la trascendencia de π (esto es, no es raíz de ningún polinomio), ya que π = (a₁ – a₂)² +( b₁ – b₂)² que pertenece a E. Así, no es posible encontrar el cuadrado inicial.

2) No es posible construir con regla y compás un cubo cuyo volumen sea el doble del de otro dado.

Para este caso, es suficiente probar que no es posible construir un cubo de volumen 2. Supongamos, al igual que antes, la reducción al absurdo para llegar a una contradicción, por lo que se asume que sí se puede construir y fijamos una cara de dicho cubo apoyada en el plano x₃ = 0 de R³. Si obviamos la tercera coordenada, llamamos A = (a₁, a₂) y B = (b₁, b₂) a dos vértices consecutivos en dicha cara. Estos puntos son construibles con regla y compás, según vimos más arriba y se tiene x = (a₁ – a₂)² +( b₁ – b₂)² que está en E = Q(a₁, b₁, a₂, b₂).

Haciendo operaciones (largas) se obtiene x³ = 4 por estar en E. Así pues, una extensión de E sobre Q es múltiplo de 3 (ya que un polinomio en x sobre Q es de la forma T³ – 4). Veamos, rápidamente, que esa extensión de E es potencia de 2, con lo que llegaremos a una contradicción: Si escogemos el conjunto de puntos del plano P = {(0, 0), (1, 0)} al que le añadimos el punto A, esto es P = {(0, 0), (1, 0), (a₁, a₂)} y p = B, que es construible a partir de P, como mencionaba antes, se tiene que la la extensión de cuerpos a partir del menos subcuerpo de Q que contiene a A, es potencia de 2, por lo que obtenemos la contradicción buscada.

No he pretendido entrar en detalles que velan el objetivo final de estas líneas, que es el mostrar con rigor, aunque por encima, lógicamente, dos hechos bien conocidos sobre las construcciones geométricas tangibles con regla y compás y espero que sirvan como curiosidad y se tomen con el mismo interés que las demás entradas de este blog.

Es evidente que se pueden construir con regla y compás muchas figuras que, de hecho, se realizan en estudios básicos de secundaria como son la recta perpendicular a otra dada, la recta paralela a otra dada que pase por un determinado punto o el punto medio de un segmento que une dos puntos dados, construcciones muy fáciles que me divertían en el instituto. Es bueno recordarlas.

Geodesia, Líneas Geodésicas y Algunos Resultados

    ¿Qué es la geodesia? La palabra Geodesia expresa división de la Tierra y trata de proporcionar una estructura geométrica precisa para el apoyo de los levantamientos topográficos. Actualmente, se puede definir como la ciencia que resuelve los problemas relacionados con la figura y dimensiones de la Tierra.

   ¿Qué problemas científicos pueden aclararse con la geodesia? Existen varios:

-Determinación del tipo de superficie matemática que represente suficientemente bien la figura de la Tierra en su totalidad. Se considera como un elipsoide de revolución ligeramente aplanado, denominado elipsoide terrestre.

-El estudio de la verdadera figura de la Tierra y su campo de gravedad, es decir, su superficie física y la gravedad que actúa sobre ella.

-En menor medida o derivados de los anteriores, se podrían citar la medición de la aceleración de la gravedad, las determinaciones astronómicas de las latitudes y las longitudes terrestres, las observaciones de los satélites artificiales, la elaboración y desarrollo de métodos e instrumentos para la ejecución de mediciones y observaciones de alta precisión, métodos topográficos para el estudio detallado de la forma de la superficie terrestre, etc.

   Se pueden definir ahora, unas líneas muy importantes en el estudio de la Geodesia, esto es, en el estudio del planeta Tierra y, por ende, extrapolable a cualquier otro planeta u objeto de forma esférica.

De forma rigurosa y sin entrar en detalles que pueden desviar la atención del espíritu de esta entrada y del blog en general, como ya comenté en otras entradas de corte técnico, se dice que una curva parametrizada no constante Y: I -> S (superficie) es geodésica en un punto t de I si el campo de sus vectores tangentes Y '(t) es paralelo a lo largo de Y en t, es decir, DY '(t) /dt = 0.

Para poder identificar geométricamente algunas geodésicas, el siguiente resultado es especialmente útil:

Una curva regular C incluida en la superficie S (con curvatura no nula) es una geodésica sí y sólo sí, su normal principal en cada punto p de C es paralela a la normal a S en p.

Para ejemplificar lo anterior, se puede afirmar que los círculos máximos de la esfera son geodésicas. De hecho, los círculos máximos C se obtienen al intersecar la esfera con un plano que pase por el centro de la esfera. ¿Por qué? la normal principal en un punto p de C está en la intersección de la recta que conecta p con el centro de la esfera porque C es un círculo de centro el centro de la esfera y así la normal se halla en esta misma dirección. Con este resultado, se afirma que sólo los meridianos y el ecuador (los círculos máximos) son geodésicas.

Se llama curvatura geodésica al valor de la derivada covariante Da '(s) /ds, donde s es la longitud de arco de la parametrización de C. Con esta definición, las geodésicas que sean curvas regulares son las que tienen curvatura geodésica nula.

Y, ¿qué sucede con los otros círculos que no son máximos que pueden surcar la superficie de una esfera? Estos círculos no máximos se llaman líneas loxodrómicas y, rigurosamente, son las líneas que cortan bajo ángulo constante, un haz de planos. Su expresión es (cotgA)(J + q) = Ln tg(v/2 + Pi/4), con variables (J, v), q constante, cotgA constante. Se puede decir que esta línea loxodrómica es la línea que unen dos puntos cualesquiera de la superficie de la esfera cortando a todos los meridianos con el mismo ángulo.

   Para acabar esta breve entrada sobre resultados interesantes, y muy importante en el estudio de las triangulaciones en la superficie de una esfera o en la Tierra, se deben considerar las aplicaciones del Teorema de Gauss-Bonnet que, de forma muy sencilla, dice que la cantidad evaluable (el número) de la curvatura gausiana en una variedad compacta bidimensional M más la cantidad evaluable de la curvatura geodésica en el borde de esa variedad, es decir, el valor de la curvatura total en una superficie bidimensional, equivale a 2 * Pi * X(M), siendo X(M) la Característica de Euler de M (es un invariante topológico que describe la estructura de un espacio topológico, como ejemplo, X de un figura tridimensional es la conocida fórmula X = V - A + C, con V vértices, A aristas y C caras).

¿Cómo se puede aplicar el resultado anterior? Sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo en el plano (2 dimensiones) es Pi pero en una esfera (3 dimensiones) esa suma es Pi + curvatura del triángulo. Por tanto, la trigonometría esférica no es la misma que la trigonometría en el plano, con unas fórmulas mucho más engorrosas que la habitual y sencilla que se aprende en edades tempranas.

   Hasta aquí estos breves apuntes que espero que sirvan para despertar el interés sobre cómo se comportan las líneas y círculos que rasgan la superficie de nuestro planeta, resultados tan usados en la planificación aérea de las líneas de aviones mundiales así como por los satélites que pueblan nuestros cielos y las telecomunicaciones del futuro.

Curvatura de Una Recta: Otra "Sencilla" Prueba

    Tal y como comenté en la entrada Un "Sencillo" Dibujo , no siempre es fácilmente demostrable lo que parece tan evidente a la vista, ya que lo riguroso requiere conceptos profundos como se vió allí y se verá, con menos profundidad, aquí.

   ¿Una recta tiene curvatura?, ¿y un plano?, ¿y una esfera? El concepto de curvatura es interesante para las superficies (diferenciables) de 3 dimensiones, y esta vez traigo unos sencillos ejemplos sobre cómo calcular la curvatura de superficies tan cotidianas como las rectas, las superficies planas o las esferas, estas últimas tan interesantes y con tantas propiedades, todo ello sin entrar en abstracciones como Formas Fundamentales, parametrizaciones o tensores.

   Aunque las geodésicas son un parte fundamental de estos conceptos, tampoco voy a entrar en explicaciones técnicas para no aburrir, se trata de considerar cuestiones aparentemente sencillas, a priori, y muy intuitivas como las planteadas al principio, pero haciendo una entrada amena y fácil de leer. Así, de forma lógica aunque poco matemática, es obvio que una recta en el espacio euclídeo (esto es, lo que vemos) no se curva porque es “recta”, evidentemente, (bueno, en realidad sí se curva si se considera como una geodésica pero no voy a rizar el rizo) y un plano tampoco se curva porque es una superficie recta plana, por tanto, se les podría asignar un número a ese grado de curvatura, es decir, se dice que tienen curvatura cero. La curvatura referida en esta entrada es la curvatura gaussiana, ya que fue Gauss el que profundizó en la temática de la geometría diferencial. Existen pues, curvaturas positivas, negativas o nulas dependiendo de ciertas cuestiones y formas en las que no entraré, repito, para no aburrir. Simplemente, se debe saber que la curvatura de una superficie tiene signo o puede ser nula. ¿Y la esfera? La esfera tiene una curvatura que depende de su radio R y ésta es K = 1/R^2.. La forma de calcularla es parametrizarla y aplicar una serie de fórmulas que, repito, no haré para no embarrar esta entrada.

   Un resultado con una importancia radical se debe a Gauss, claro, y es el llamado Teorema Egregium que dice que la curvatura gaussiana de una superficie es invariante bajo isometrías locales. Esto quiere decir que la curvatura de una superficie no depende de la forma en que ésta se encuentra en el espacio tridimensional. Este resultado tiene diversas aplicaciones, destacando la de cartografiar terrenos ya que una esfera como la Tierra no puede “aplastarse” o proyectarse sobre un plano (un mapa terrestre) sin distorsionar distancias, lo que técnicamente sería decir que no existe una isometría entre la esfera y el plano (hemos comentado que el plano tiene curvatura nula, como una recta, pero la esfera tiene siempre curvatura distinta de cero y el Teorema Egregium garantiza que la curvatura es un invariante).

Veamos el ejemplo de la recta, que tiene curvatura K = 0, el cual se puede extender al caso del plano:

- Una primera forma intuitiva sería considerar la recta como un círculo de radio infinito, es decir, abrimos un círculo y desplegamos sus extremos y como la curvatura de la esfera depende de su radio R, la cual es K = 1/R², si el radio es infnito, se obtiene así que K = 0. Esta sería la idea intuitiva fácil de ver.

- La forma más rigurosa es considerar una recta en el plano y = ax + b (fácilmente extrapolable a la recta en el espacio pero así se facilitan los cálculos y la visión del resultado buscado). La fórmula de la curvatura es

Por tanto, haciendo cálculos, f '(x) = a;  f ''(x) = 0; y así, K = 0 por tener el numerador nulo.

   Esta sencilla demostración se puede ampliar al plano considerándolo como una infinidad de rectas paralelas, con lo que también tiene curvatura nula, sin entrar en detalles, tan solo viendo este experimento de forma lo más intuitiva posible. Espero haber aclarado esta "sencilla" cuestión.